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《微分方程》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:460

《微分方程》教学大纲

Differential Equations

 

课程编码:09A04070    学分:3.5      课程类别: 专业课(必修)

计划学时:56          其中讲课:56   实验或实践:0          上机:0

适用专业:金融数学

推荐教材:王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,常微分方程(第三版),北京:高等教育出版社,2006.

参考书目:

    1. 丁同仁,李承志, 常微分方程教程, 北京:高等教育出版社,1991.

    2. 叶彦谦, 常微分方程讲义, 北京:人民教育出版社, 1979.

    3. 东北范大学微分方程教研室, 常微分方程, 北京: 高等教育出版社, 2006.

    4. 周义仓, 靳祯, 秦军林,常微分方程及其应用, 北京:科学出版社,2003.

    5. 庄万, 常微分方程习题解, 济南:山东科学技术出版社, 2005.

    6. 钱详征, 常微分方程解题方法, 长沙:湖南科学技术出版社,1984.

    7. 周尚仁,权宏顺, 常微分方程习题集, 北京:人民教育出版社,1983.

    8. E.卡姆克著、张鸿林译, 常微分方程手册, 北京:科学出版社,1975.

    9. 石瑞青,闫晓红,齐霄霏,郭红建, 常微分方程(第二版)全程导学及习题全解, 北京:中国时代经济出版社,2007.

    10. 孙清华,李金兰, 常微分方程内容、方法与技巧, 武汉:华中科技大学出版社,2006.

    11. 朱思铭, 常微分方程学习辅导与习题解答, 北京:高等教育出版社,2009.

课程的教学目的与任务

通过该课程的学习,使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握其基本理论和主要方法,进一步巩固微积分的相关理论,并为后继课程打好基础。同时,通过学习一些使用微分方程解释客观实际,特别是微分方程在经济学问题中应用的范例,培养学生利用微分方程建立数学模型并运用微分方程理论解决实际问题的能力。通过该课程的学习,能够使学生深刻认识到数学来源于实践,又服务于实践,从而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。

课程的基本要求

1、掌握常微分方程的各种基本概念,领悟处理微分方程问题的思维方法。

2、熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程(组)的方法,包括各种初等解法和线性常系数方程(组)的解法。

3、深刻体会变量变换思想在常微分方程求解过程中的作用和地位。

4、掌握常微分方程(组)解的基本理论,包括一阶微分方程解的存在唯一性定理和线性微分方程(组)解的性质。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

第一章 绪论                                                        建议学时:4

[教学目的与要求] 了解常微分方程的发展历史,明确如何根据实际问题建立数学模型,正确理解微分方程的有关基本概念。

[教学重点与难点] 微分方程中的基本概念和微分方程数学模型的建立。

[   ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[   ]

第一节 常微分方程模型

第二节 基本概念和常微分方程的发展历史

一、常微分方程基本概念

二、常微分方程发展历史

第二章 一阶微分方程的初等解法                                     建议学时:14

[教学目的与要求] 1.熟练掌握能够使用初等积分法求解的一阶微分方程类型,并深刻理解相应的初等解法; 2.体会变量变换思想在求解过程中的地位和作用;3.掌握特殊的一阶隐式微分方程的解法。

[教学重点与难点] 一阶微分方程的初等解法。

[   ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[   ]

第一节 变量分离方程与变量变换

一、变量分离方程

二、可化为变量分离方程的类型

三、应用举例

第二节 线性微分方程与常数变易法

第三节 恰当微分方程与积分因子

一、恰当微分方程

二、积分因子

第四节 一阶隐式微分方程与参数表示

一、 可解出y(x)的方程

二、 不显含y(x)的方程

第三章 一阶微分方程的解的存在定理                                  建议学时:10

[教学目的与要求] 1.理解并掌握解的存在唯一性定理及证明方法--逐次逼近法,会应用存在唯一性定理处理一些简单问题;2.掌握解的延拓定理,并能使用延拓定理对解的存在区间进行判断;3.理解对初始值与参数的连续性和解对初值的可微性。

[教学重点与难点] 存在唯一性定理及证明方法。

[   ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[   ]

第一节 解的存在唯一性定理及逐步逼近法

一、 存在唯一性定理

二、 近似计算和误差估计

第二节 解的延拓

第三节 解对初值的连续性与可微性定理

一、解对初值的连续依赖性

二、解对初值的可微性

第四章 高阶微分方程                                                建议学时:14

[教学目的与要求] 1.掌握高阶线性方程解的性质及结构,熟练掌握常数变易法;2.熟练掌握常系数齐次线性方程的解法;3.掌握欧拉方程的解法;熟练掌握比较系数法;4.掌握高阶方程的降阶法,了解二阶线性方程的幂级数解法。

[教学重点与难点] 线性方程解的性质、结构与解法。

[     ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[    ]

第一节 线性微分方程的一般理论

一、齐次线性微分方程的解的性质与结构

二、非齐次线性微分方程与常数变易法

第二节 常系数线性微分方程的解法

一、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

二、非齐次线性微分方程与比较系数法

第三节 高阶方程的降阶和幂级数解法

一、可降阶的一些方程类型

二、二阶线性微分方程的幂级数解法

第五章 线性微分方程组                                              建议学时:14

[教学目的与要求] 1. 理解阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组初值问题的等价性;2.掌握一阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理及其证明;3.熟练掌握一阶线性微分方程组解的性质与结构,掌握常数变易法;4.掌握常系数线性微分方程组基解矩阵的求法。

[教学重点与难点] 线性微分方程组解的性质、结构与常系数线性微分方程组的解法。

[   ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[    ]

第一节 存在唯一性定理

第二节 线性微分方程组的一般理论

一、齐次线性微分方程组

二、非齐次线性微分方程组

第四节 常系数线性微分方程组

一、矩阵指数的定义和性质

二、基解矩阵的计算公式

 

 

                                         撰稿人:孙元功     审核人:温凤桐

 
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