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《数学分析2》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:387

《数学分析2》教学大纲

Mathematical  Analysis  II

 

课程编码:09A01040      学分:6.0           课程类别:专业基础必修课

计划学时:96           其中讲课:96       实验或实践:0       上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)、信息与计算科学、金融数学

推荐教材:华东师范大学数学系 编,《数学分析》[M]第四版,上、下册,高等教育出版社,2010

参考书目:1. 邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》[M]上、下册,高等教育出版社,1999

2. 陈纪修、於崇华、金路编著《数学分析》[M]上、下册,高等教育出版社,1999

3. 裴礼文 编,《数学分析中的典型问题与方法》[M],高等教育出版社,1993

 

课程的教学目的与任务

本课程的教学目的是使学生获得数学分析基本概念、核心理论和基本方法,通过对微分理论、积分理论和级数理论的解读和把握,提高数学素养,对近代数学的思想和方法得到深刻的理解和掌握,进而对后继课程学习和今后的工作打下坚实的基础。通过本课程的学习,学生应该熟悉实数的完备性理论,熟练掌握积分的理论、计算和应用,掌握反常积分和级数理论,进而灵活运用这些基本理论和方法,处理一些实际问题。

 

课程的基本要求

1、在学习本课程的过程中,学生要加强对基本概念和基本理论的学习,精读教材,按时独立完成作业,加强基本能力的培养和训练。

2、要求学生学完本课程后,要具有准确计算积分的能力,对反常积分和无穷级数收敛性判断的能力,对问题之间相互转换的能力(比如,极限问题与级数问题的相互转换,积分问题与级数问题的相互转换),对基本理论相互串联的能力,对数学问题的条件和结论的合理设计能力,进行简单的理论研究和应用研究的能力,对问题的独立思考能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第六章  微分中值定理及其应用                             建议学时:16

[教学目的与要求] 深刻理解中值定理,特别是拉格朗日中值定理及其几何意义。会证明中值定理,学会用辅助函数证明问题的方法。掌握导函数的特性:不具有第一类间断点、介值性。初步具有应用中值定理论证问题的能力。熟练掌握、正确运用罗比达法则,并能迅速准确地计算出各种不定式极限。掌握泰勒定理的内容与意义,初步学会用泰勒公式解题。掌握泰勒定理的内容与意义,初步学会用泰勒公式解题。掌握应用导数研究函数单调性与极值的理论、方法和步骤。掌握函数在区间上是凹(或凸)性论证问题的方法。了解描绘函数图象的步骤和方法,并会描绘常见的函数图象。

[教学重点与难点] 中值定理;泰勒公式

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅

[      ]

第一节 拉格朗日定理和函数的单调性

  一、罗尔定理与拉格朗日定理

  二、单调函数

第二节 柯西中值定理和不定式极限

  一、柯西中值定理

  二、不定式极限

第三节 泰勒公式

  一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式

  二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式

  三、在近似计算上的应用

第四节 函数的极值与最大(小)值

  一、极值判别

  二、最大值与最小值

第五节 函数的凸性与拐点

第六节 函数图像的讨论

 

第七章  实数的完备性                             建议学时:6

[教学目的与要求] 理解和掌握实数完备性的几个定理的意义,并能运用它们论证一些理论问题。进一步掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题证明的技巧。

[教学重点与难点] 实数完备性定理的应用

[     ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 关于实数完备性的基本定理

  一、区间套定理

  二、聚点定理与有限覆盖定理

  三、实数完备性基本定理之间的等价性

第二节 上极限和下极限

 

第八章  不定积分                            建议学时:14

[教学目的与要求] 掌握原函数与不定积分概念,以及二者之间的区别。掌握不定积分的运算法则,牢记不定积分公式表。掌握换元积分法与分部积分法的技能。独立完成一定数量的不定积分的练习题,从而逐步达到能迅速地求出不定积分。掌握分解有理函数为部分分式的方法,并能熟练计算简单分式的不定积分。掌握某些可有理化函数的不定积分的求法。

 [教学重点与难点] 不定积分的计算

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅

[      ]

第一节 不定积分概念与基本积分公式

  一、原函数与不定积分

  二、基本积分表

第二节 换元积分法与分部积分法

  一、换元积分法

  二、分部积分法

第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分

  一、有理函数的不定积分

  二、三角函数有理式的不定积分

  三、某些无理式的不定积分

 

第九章  定积分                            建议学时:16

[教学目的与要求] 深刻理解定积分的概念与意义。深入领会可积分的必要条件、充要条件,初步掌握判断函数是否可积的基本方法。熟练掌握定积分的性质,并能用它证明某些有关问题。深刻理解微积分学基本定理的意义,并具有应用它证明有关定积分问题的能力。熟练掌握与应用牛一莱公式,熟练掌握计算定积分的基本方法和技巧。

 [教学重点与难点] 定积分的定义和性质

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 定积分概念

  一、问题提出

  二、定积分的定义

第二节 牛顿-莱布尼茨公式

第三节 可积条件

  一、可积的必要条件

         二、可积的充要条件

         三、可积函数类

第四节 定积分的性质

  一、定积分的基本性质

  二、积分中值定理

第五节 微积分学基本定理 定积分的计算(续)

  一、变限积分与原函数的存在性

         二、换元积分法与分部积分法

         三、泰勒公式的积分型余项

 

第十章  定积分的应用                            建议学时:8

[教学目的与要求] 熟练地应用定积分来计算平面图形的面积,曲线弧长及曲率,旋转体的表面积与体积,以及掌握由截面面积函数求体积的基本方法。了解运用定积分计算某些物理问题。

 [教学重点与难点] 基本公式的应用

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 平面图形的面积

第二节 由平行截面面积求体积

第三节 平面曲线的弧长与曲率

  一、平面曲线的弧长

         二、曲率

第四节 旋转曲面的面积

  一、微元发

  二、旋转曲面的面积

第五节 定积分在物理中的某些应用

  一、液体静压力

         二、引力

        三、功与平均功率

 

第十一章  反常积分                            建议学时:8

[教学目的与要求] 深刻理解反常积分及其收敛性概念,掌握反常积分的收敛判别法。

 [教学重点与难点] 反常积分的收敛判别法

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 反常积分概念

一、问题提出

         二、两类反常积分的定义

第二节 无穷积分的性质与收敛性判别

  一、无穷积分的性质

         二、非负函数无穷积分的收敛判别法

         三、一般无穷积分的收敛判别法

第三节 暇积分的性质与收敛判别

 

第十二章 数项级数                           建议学时:16

[教学目的与要求] 掌握级数敛散性定义及意义,熟练掌握级数敛散性判别法。掌握收敛级数与绝对收敛级数的性质。具有应用级数收敛性定义和收敛级数的性质证明级数中一些理论问题的能力。

 [教学重点与难点] 级数敛散性判别法

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 级数的敛散性

第二节 正项级数

  一、正项级数收敛性的一般判别原则

         二、比式判别法和根式判别法

         三、积分判别法

         四、拉贝判别法

第三节 一般项级数

  一、交错级数

         二、绝对收敛级数及其性质

         三、阿贝尔判别法和狄利克累判别法

 

第十三章  函数列与函数项级数                      建议学时:12

[教学目的与要求] 深刻理解一致收敛概念,熟练掌握一致收敛定义及其否定叙述,并能用一致收敛定义或判别法判断函数项级数的一致收敛性。牢记有关性质定理的条件,并能用它们讨论和函数(或极限函数)的分析性质。

[教学重点与难点] 一致收敛的定义

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 一致收敛性

一、函数列及其一致收敛性

         二、函数项级数及其一致收敛性

         三、函数项级数的一致收敛性判别法

第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质

 

 

 

 

撰稿人:吴兆荣    审核人:吕洪波

 

 
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