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《高等代数2》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:271

《高等代数2》教学大纲

Advanced Algebra 2

 

课程编码:09A01070              学分: 6.0         课程类别: 专业基础必修课

计划学时:96                    其中讲课: 96     实验或实践:  0      上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范),信息与计算科学,金融数学

推荐教材:北京大学数学系几何与代数教研室小组编,《高等代数(第四版)》,高等教育出版社,20032月。

参考书目:1.张禾瑞,郝炳新编,《高等代数》,北京:高等教育出版社,19843月。

2.丘维声编,《高等代数》,北京:高等教育出版社,199612月。

3. 陈志杰主编,《高等代数与解析几何(上下)》,北京:高等教育出版社、Springer出版社,20006月。

4.孟道骥著,《高等代数与解析几何(上下)》,北京: 科学出版社, 1998年。

课程的教学目的与任务

本课程的教学目的是让学生在掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能的基础上,初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系,提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。通过本课程的学习使学生了解和掌握现代数学研究的基本特征和思想方法,培养和提高其抽象思维,推理论证及独立创造的能力。

课程的基本要求

1. 充分理解借助线性空间刻画的线性变换的意义,并能够借助不变子空间的直和分解,掌握矩阵的相似分类;

2. 熟练掌握欧氏空间的刻划与相应的变换的刻画;

3. 通过对二次型的掌握,了解双向性函数的刻画。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

第五章  二次型                                   建议学时:12

[教学目的与要求] 1. 理解二次形和非退化线性替换的概念;掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系;掌握矩阵的合同概念及性质。理解二次型的标准形,掌握化二次型为标准型的方法(配方法、初等变换法)。2. 理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性;掌握惯性定理。正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念;熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

[教学重点与难点]  矩阵合同;惯性定理;正定矩阵的应用

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ]

第一节  二次型的矩阵表示

第二节  标准形

第三节  唯一性

第四节  正定二次型

第六章  线性空间                                   建议学时:22

[教学目的与要求] 1. 掌握映射、单射、满射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念。 正确理解和掌握线性空间的定义及性质;会判断一个代数系统是否是线性空间。理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念;正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。2. 理解和掌握基变换与坐标变换的关系。正确理解线性子空间的定义及判别定理;掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。3. 掌握子空间的交与和的定义及性质;熟练掌握维数公式。 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

[教学重点与难点] 线性空间的和与直和;线性空间的同构

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ]

第一节  集合 映射

第二节  线性空间的定义与简单性质

第三节  维数,基与坐标

第四节  基变换与坐标变换

第五节  线性子空间

第六节  子空间的交与和 

第七节  子空间的直和

第八节  线性空间的同构

第七章  线性变换                                   建议学时:24

[教学目的与要求] 1、理解和掌握线性变换的定义及性质。掌握线性变换的运算及运算规律,理解线性变换的多项式。深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系;掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。2、理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质;会求一个矩阵的特征值和特征向量;掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。3、掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念;深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。掌握不变子空间的定义;会判定一个子空间是否是A-子空间;深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系;掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。4、掌握标准形的定义。正确理解最小多项式的概念;掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。

[教学重点与难点]  线性空间的基与坐标变换;线性变换及其特征值与特征向量;矩阵相似;线性变换的值域与核的刻画;特征多项式与最小的形式

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ]

第一节  线性变换的定义

第二节  线性变换的运算

第三节  线性变换的矩阵

第四节  特征值与特征向量

第五节  对角矩阵

第六节  线性变换的值域与核

第七节  不变子空间

第八节  若当标准形介绍

第九节  最小多项式

第八章  l-矩阵                                   建议学时:12

[教学目的与要求] 1、掌握-矩阵的有关概念。会用初等变换求-矩阵的标准型。掌握行列式因子与不变因子的观念及它们之间的关系,会求行列式因子与不变因子。2、理解并掌握矩阵相似的条件。会求矩阵的初等因子。会求矩阵的若当标准形与有理标准形。3、本章主要介绍一些基本概念,一些简单结论,对定理的证明不作过高的要求。

[教学重点与难点] l-矩阵的初等变换;矩阵相似的充要条件

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ]

第一节  l-矩阵的概念

第二节  l-矩阵在初等变换下的标准

第三节  不变因子

第四节  矩阵相似的条件

第五节  初等因子

第六节  若当标准形的理论推导

第七节  矩阵的有理标准形

第九章  欧几里得空间                                   建议学时:22

[教学目的与要求] 1、深刻理解欧氏空间的定义及性质;掌握向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质,使学生掌握各种概念之间的联系和区别。正确理解正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化过程,并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。2、深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系,让学生掌握正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系。3、正确理解和掌握两个子空间正交的概念,掌握正交与直和的关系,欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵,并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。

[教学重点与难点]  内积与欧氏空间;标准正交基;正交变换;对称变换

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ]

第一节  定义与基本概念

第二节  标准正交基

第三节  同构

第四节  正交变换

第五节  子空间

第六节  对称矩阵的标准形

第七节  向量到子空间的距离,最小二乘法

第八节  酉空间介绍

第十章  双线性函数                                   建议学时:4

[教学目的与要求] 掌握线性函数的定义与运算,理解并掌握对偶基与对偶空间的定义与性质,会求对偶基。知道什么是双线性函数及其度量矩阵,知道什么是对称双线性函数与反对称双线性函数,会进行有关的运算。

[教学重点与难点]  对偶空间;同构;双线性函数

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅。

[      ] 线性函数;对偶空间;双线性函数 ;辛空间

第一节  线性函数

第二节  对偶空间

第三节  双线性函数

第四节  辛空间

 

 

 

                                 撰稿人:陈文娟   审核人:吕洪波

 

 
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