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《常微分方程》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:354

《常微分方程》教学大纲

Ordinary Differential Equations

 

课程编码:09A01080        学分:4.0           课程类别: 专业课(必修)

计划学时:64            其中讲课:64      实验或实践:0        上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)、信息与计算科学

推荐教材:王高雄, 周之铭,朱思铭,王寿松,常微分方程(第三版),北京:高等教育出版社,2006

参考书目:1. 丁同仁,李承志, 常微分方程教程, 北京:高等教育出版社,1991

2. 叶彦谦, 常微分方程讲义, 北京:人民教育出版社, 1979

3. 东北范大学微分方程教研室, 常微分方程, 北京: 高等教育出版社, 2006

4. 周义仓, 靳祯, 秦军林, 常微分方程及其应用, 北京:科学出版社,2003

5. 庄万, 常微分方程习题解, 济南:山东科学技术出版社, 2005

6. 钱详征, 常微分方程解题方法, 长沙:湖南科学技术出版社,1984

7. 周尚仁,权宏顺, 常微分方程习题集, 北京:人民教育出版社,1983

8.  E.卡姆克著、张鸿林译, 常微分方程手册, 北京:科学出版社,1975

9. 石瑞青,闫晓红,齐霄霏,郭红建, 常微分方程(第二版)全程导学及习题全解, 北京:中国时代经济出版社,2007

10. 孙清华,李金兰, 常微分方程内容、方法与技巧,  武汉:华中科技大学出版社,2006

11. 朱思铭, 常微分方程学习辅导与习题解答, 北京:高等教育出版社,2009

 

课程的教学目的与任务

 

通过该课程的学习,使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握其基本理论和主要方法,具备良好的解题能力,为学习本学科近代发展理论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用微分方程解释实际现象问题的著名范例,培养学生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能力,认识到数学来源于实践,又服务于实践,从而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分析、数理方程等必不可少的基础,对提高学生的素质,使之更好地适应当前经济建设的需要提供必备的知识基础。

 

课程的基本要求

 

1. 正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法。

2. 熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程(组)的方法,包括各种初等解法和线性常系数方程(组)的解法。

3. 掌握常微分方程(组)解的基本理论,包括一阶微分方程解的存在唯一性定理和线性微分方程(组)解的性质。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第一章 绪论                                    建议学时:4

[教学目的与要求] 了解常微分方程的发展历史及如何根据实际问题建立数学模型;正确理解微分方程的有关基本概念。

[教学重点与难点]  微分方程中的基本概念;微分方程数学模型的建立

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅

[      ]

第一节 常微分方程模型

第二节 基本概念和常微分方程的发展历史

 

第二章 一阶微分方程的初等解法                    建议学时:12

[教学目的与要求] 1. 熟练掌握一阶微分方程的初等解法; 2.掌握特殊的一阶隐式微分方程的解法。

[教学重点与难点]  一阶微分方程的初等解法

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 变量分离方程与变量变换

1. 变量分离方程 2. 可化为变量分离方程的类型 3. 应用举例

第二节 线性方程与常数变易法

第三节 恰当方程与积分因子

1. 恰当方程 2. 积分因子

第四节 一阶隐方程与参数表示

1. 可以解出yx的方程  2. 不显含y x的方程

 

第三章 一阶微分方程的解的存在定理               建议学时:14

[教学目的与要求] 1.理解并掌握存在唯一性定理及证明方法逐次逼近法,会应用存在唯一性定理;2.掌握解的延拓定理和解的存在区间;3.理解解对初始值与参数的连续性,了解解对初始值的可微性;4.了解奇解的概念及求法。

[教学重点与难点] 存在唯一性定理及证明方法

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 解的存在唯一性定理及逐步逼近法

1. 存在唯一性定理 2. 近似计算和误差估计

第二节 解的延拓

第三节 解对初值的连续性与可微性定理

1. 解关于初值的对称性 2. 解对初值的连续依赖性 3. 解对初值的可微性

第四节 奇解

 

第四章 高阶微分方程                            建议学时:18

[教学目的与要求] 1. 掌握线性方程解的性质及结构;熟练掌握常数变易法;2. 熟练掌握常系数齐次线性方程的解法;3. 掌握欧拉方程的解法;熟练掌握比较系数法;会利用拉普拉斯变换法求解线性微分方程;4. 掌握高阶方程的降阶法;了解二阶线性方程的幂级数解法。

[教学重点与难点] 线性方程解的性质、结构与解法

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 线性微分方程的一般理论

1. 线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理 2. 齐次线性微分方程解的性质和结构 3. 非齐次线性微分方程与常数变易法

第二节 常系数线性微分方程的解法

1. 常系数齐次线性微分方程 2. 欧拉方程 3. 非齐次线性微分方程 4. Laplace 变换法

第三节 高阶方程的降阶和幂级数解法

1. 可降阶的一些方程类型 2. 幂级数解法 3. 第二宇宙速度的计算

 

第五章 线性微分方程组                          建议学时:16

[教学目的与要求] 1. 理解n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组初值问题

的等价性;2.掌握存在唯一性定理及其证明;3. 熟练掌握线性微分方程组解的性质与结构,掌握常数变易法;4. 掌握基解矩阵的求法;了解拉普拉斯变换的应用。

[教学重点与难点] 线性方程组解的性质、结构与解法

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 存在唯一性定理

第二节 线性微分方程组的一般理论

1. 齐次线性微分方程组 2. 非齐次线性微分方程组

第三节 常系数线性微分方程组

1. 矩阵指数函数的定义和性质 2. 基解矩阵的计算公式 3. Laplace 变换的应用

 

 

 

                           撰稿人:孙书荣   审核人:吕洪波

 

 
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