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《数值分析》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:302

《数值分析》教学大纲

Numerical Analysis

课程编码:09A01100        学分:3.5          课程类别:专业课(必修)

计划学时:64             其中讲课:48       实验或实践:  0      上机: 16

适用专业:信息与计算科学

推荐教材:李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M],第五版.北京:清华大学出版社,2008.12

参考书目:1.王能超.计算方法简明教程[M]. 北京:高等教育出版社,2004.1

2关冶,陆金甫.值方法[M]. 北京:清华大学出版社,2006.2

3.白峰杉. 数值计算引论[M].北京:高等教育出版社,2005.1

          4.姜建飞,胡良建,唐俭. 数值分析及其Matlab实验[M].北京:科学出版社,2004.6

         

课程的教学目的与任务

数值分析是与计算机紧密结合的近代数学的一个分支,主要任务是研究如何应用计算机获得各种数学问题的数值解的方法及相应的理论分析。本课程旨在使学生全面了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论,使学生具备一定的科学计算、分析问题和解决问题的能力,熟练掌握主要算法的程序设计及实现,为后继课程的学习和将来从事科学研究打下坚实的数学基础。

 

课程的基本要求

1、使学生掌握现代科学计算中常用的数值计算方法以及理论分析体系,培养利用数学工具解决实际问题的算法构造与分析能力;

2、使学生通过编程和上机操作完成所学方法的数值实现,培养利用计算机求解数值问题的能力;

3、使学生了解科学计算的理论与实际应用体系,培养近似计算的思维方式以及计算机作为计算工具的操控能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(理论48学时,上机16学时)

 

第一章  数值分析与科学计算引论                            建议学时:3+2(上机)

 

[教学目的与要求]了解误差的种类来源,理解绝对误差、相对误差的概念,理解有效数字与误差的关系, 了解误差对计算的影响, 理解稳定性概念;通过上机实验观察误差的传递、数值稳定性对算法的影响

[教学重点与难点]  误差与有效数字的关系及计算,避免有效数字损失的方法。

[      ]  课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节 数值分析的对象、作用、特点

一、数值分析的研究对象与作用

二、数值分析的特点

三、数值分析的应用

第二节 数值计算的误差

一、误差的来源与分类

二、误差与有效数字

三、数值运算的误差估计

第三节  病态问题,数值稳定性与避免误差危害

一、算法的数值稳定性

二、病态问题与条件数

三、避免误差危害

第四节  数值计算中算法设计的技术

一、多项式求值的秦九韶算法

二、迭代法与开方求值

三、以直代曲与化整为“零”

四、加权平均的松弛技术

五、上机实验项目一: 误差的传递、数值算法的稳定性                     

 

第二章  插值法                                         建议学时8+2(上机)

 

[教学目的与要求] 掌握Lagrange插值多项式的构造与截断误差的估计;掌握Newton插值多项式的构造与差商、差分的性质,通过上机实验掌握LagrangeNewton插值的算法应用,并检验实际误差与理论分析的吻合度。掌握两种典型的Hermite插值多项式的构造, 掌握分段低次插值多项式的构造及特点,掌握三次样条插值多项式的构造及特点,了解这几种插值的联系及区别并能熟练地进行运算。

[教学重点与难点]  Lagrange插值多项式、Newton插值多项式的构造及误差估计,两种方法的程序实现,两个典型的Hermite插值的构造,分段低次插值法的基本原理和插值公式,三次样条插值多项式的构造。

[      ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  引言

一、插值问题的提出

二、多项式插值

第二节  拉格朗日(Lagrange)插值

一、线性插值与抛物插值

二、Lagrange插值多项式

三、插值余项及误差估计

第三节  均差与牛顿(Newton)插值多项式

一、插值多项式的逐次生成

二、均差及其性质

三、牛顿(Newton)插值多项式

四、差分形式的牛顿(Newton)插值多项式

五、上机实验项目二:LagrangeNewton插值法的应用                         

第四节  埃尔米特(Hermite)插值

一、重节点均差及泰勒插值

二、两个典型的埃尔米特(Hermite)插值

第五节  分段低次插值

一、高次插值的病态性质

二、分段线性插值

三、分段三次埃尔米特(Hermite)插值

第六节  三次样条插值

一、三次样条函数

二、样条插值函数的建立

三、误差界与收敛性

      

第三章  函数逼近与快速傅立叶变换                          建议学时6+2(上机)

[教学目的与要求] 了解函数逼近问题,了解最常用的两种度量标准,会求最佳平方逼近多项式,理解曲线拟合的最小二乘法的原理,会求最小二乘拟合函数,通过上机实验掌握利用最佳平方逼近、最小二乘法求近似函数关系式的方法并比较方法优劣。了解有理逼近和快速Fourier变换,有理逼近和快速Fourier变换为选修。

[教学重点与难点] 最佳平方逼近,曲线拟合的最小二乘法,算法程序实现。

[     ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  函数逼近的基本概念

一、函数逼近与函数空间

二、范数与赋范线性空间

三、内积与内积空间

四、最佳逼近

第二节  正交多项式

一、正交函数族与正交多项式

二、勒让德(Legender)多项式

三、契比雪夫 (Chebyshev) 多项式

四、契比雪夫多项式零点插值

五、其他常用的正交多项式

第三节  最佳平方逼近

一、最佳平方逼近及其计算

二、用正交函数族作最佳平方逼近

三、契比雪夫级数

第四节  曲线拟合的最小二乘法

一、最小二乘法及其计算

二、用正交多项式作最小二乘拟合

三、上机实验项目三:最佳平方逼近、最小二乘拟合的应用                

 

第四章  数值积分与数值微分                                建议学时6+2(上机)

[教学目的与要求] 理解数值求积的基本思想,掌握代数精度的概念,掌握插值型求积公式及余项表示,

 掌握牛顿柯特斯公式及复合求积公式。了解理查逊(Richardson)外推技巧,掌握在此基础上导出的Romberg算法,通过上机实验掌握复化求积公式和Romberg算法求积分近似值的实际应用并比较算法性能。理解并掌握Gauss型求积公式的思想及构造方法,数值微分、自适应积分、多重积分为选修。

[教学重点与难点] Newton-Cotes 求积公式,复合求积公式,Romberg求积公式, Guass型求积公式,数值微分。

[      ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  数值积分概论

一、数值积分的基本思想

二、代数精度的概念

三、插值型的求积公式

四、求积公式的余项

五、求积公式的稳定性与收敛性

第二节  牛顿-柯特斯公式

一、柯特斯系数与辛普森公式

二、偶数阶求积公式的代数精度

三、辛普森公式的余项

第三节  复合求积公式

一、复合梯形公式

二、复合辛普森(Simpson)求积公式

第四节 龙贝格(Romberg)求积公式

一、梯形法的递推化

二、外推技巧

三、龙贝格算法

四、上机实验项目四:复化积分公式、Romberg求积算法

第五节  自适应积分法

第六节  高斯(Gauss)求积公式

一、一般理论

二、高斯—勒让德求积公式

三、高斯—契比雪夫求积公式

第七节 多重积分

第八节 数值微分

一、中点方法与误差分析

二、插值型的求导公式

三、三次样条求导

四、数值微分的外推算法

 

第五章  解线性方程组的直接解法                          建议学时6+2(上机)

[教学目的与要求] 掌握Gauss消去法的理论,掌握部分选主元素的Gauss消去法、矩阵的三角分解法,掌握对称正定矩阵方程组的平方根法、三对角方程组的追赶法,通过编程上机实现巩固对于数值求解方程组的列主元消元法、三角分解法的掌握。掌握向量、矩阵范数的定义和矩阵条件数的概念,了解迭代改善法,迭代改善为选修。

[教学重点与难点] Gauss消去法,主元素消去法,直接三角分解方法,解的迭代改解,程序实现。

[      ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  引言与预备知识

一、引言

二、向量和矩阵

三、矩阵的特征值与谱半径

四、特殊矩阵

第二节  高斯(Gauss)消去法

一、高斯消去法

二、矩阵的三角分解

三、列主元消去法

第三节  矩阵三角分解法

一、直接三角分解法

二、平方根法

三、追赶法

四、上机实验项目五:列主元Gauss消去法、LU分解法

第四节 向量和矩阵的范数

一、向量范数

二、矩阵范数

第五节  误差分析

一、矩阵的条件数

二、迭代改善法

 

第六章  解线性方程组的迭代法                            建议学时4+2(上机)

[教学目的与要求] 掌握解线性方程组的迭代法的构造,掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法的构造和计算过程,通过上机实现掌握JacobiG-S方法求数值解的实现方法并分析收敛速度。掌握常用迭代法的收敛条件,共轭梯度法为选修。

[教学重点与难点] 迭代公式的构造,迭代法的收敛性、收敛速度,Jacobi 迭代方法,Gauss-Seidel迭代方法,超松弛(SOR)迭代法,程序实现及算法分析。

[      ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  迭代法的基本概念

一、引言

二、向量序列与矩阵序列的极限

三、迭代法及其收敛性

第二节  雅科比(Jacobi)迭代法与高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法

一、雅科比迭代法

二、高斯—塞德尔迭代法

三、雅科比迭代法与高斯—塞德尔迭代法的收敛性

四、上机实验项目六:JacobiGauss-Seidal迭代法

第三节  超松弛迭代法

一、逐次超松弛迭代法

二、SOR迭代法的收敛性

第四节  共轭梯度法

一、与方程组等价的变分问题

二、最速下降法

三、共轭梯度法

           

第七章  非线性方程与方程组的数值解法                            建议学时6

[教学目的与要求] 掌握二分法及其思想,掌握不动点迭代法的构造和收敛性条件,了解迭代法的局部收敛性、收敛阶、Aitken加速和Steffensen迭代法,掌握Newton法的构造、收敛性特点及其应用,掌握弦截法与Muller法迭代公式的构造。

[教学重点与难点] 单个方程的迭代法,Aitken加速方法,Steffensen 迭代法,Newton迭代法,割线法,Muller方法。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节  方程求根与二分法

一、引言

二、二分法

第二节  不动点迭代法及其收敛性

一、不动点与不动点迭代法

二、不动点的存在性与迭代法的收敛性

三、局部收敛性与收敛阶

第三节  迭代收敛的加速方法

一、埃特金(Aitken)加速收敛方法

二、斯蒂芬森(Steffensen)迭代法

第四节 牛顿(Newton)

一、牛顿法及其收敛性

二、牛顿法应用举例

三、简化牛顿法与牛顿下山法

四、重根情形

第五节  弦截法与抛物线(Muller)

一、弦截法

二、抛物线法

 

第八章  矩阵特征值计算                                         建议学时3

[教学目的与要求] 了解幂法和反幂法的基本思想,适用情形和优点,了解正交变换,QR方法。

[教学重点与难点] 正交变换及矩阵分解,幂迭代法和逆幂迭代法,正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式,QR方法。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节  特征值性质和估计

一、特征值问题及其性质

二、特征值估计和扰动

第二节  幂法与反幂法

一、幂法

二、加速方法

三、反幂法

第三节 正交变换与矩阵分解

一、Householder变换和Givens变换

二、矩阵的QR分解和舒尔分解

第四节 QR方法

一、QR算法

 

第九章  常微分方程初值问题数值解法                        建议学时6+4(上机)

[教学目的与要求] 掌握Euler方法、后退Euler法、梯形法及改进的Euler法,掌握Runge-Kutta法,通过上机实验掌握球场微分方程数值解的Euler方法和Runge-Kutta法的应用以及误差分析。掌握单步法的收敛性与稳定性的概念,了解阿达姆斯方法。通过综合性实验掌握本门课程中数值算法的综合应用。

[教学重点与难点] Euler方法,Runge-Kutta法,单步法的稳定性和收敛性,阿达姆斯方法

[      ] 课堂讲授与上机实验相结合。

[      ]

第一节  引言

第二节  简单的数值方法

一、欧拉(Euler)法与后退欧拉法

二、梯形方法

三、改进欧拉公式

四、单步法的局部截断误差与阶

第三节 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

一、显式龙格-库塔法的一般形式

二、二阶显式龙格-库塔法

三、三阶与四阶显式龙格-库塔法

四、上机实验项目七:欧拉方法、Runge-Kutta 

第四节 单步法的收敛性与稳定性

一、收敛性与相容性

二、绝对稳定性与绝对稳定域

第五节 线性多步法

一、线性多步法的一般形式    二、阿当姆斯显式与隐式公式   

二、上机实验项目八: 综合性实验                                            

 

                                              撰稿人: 张守慧    审核人:靳绍礼

 
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