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《近世代数》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:304

《近世代数》教学大纲

Modern Algebra

课程编码:09A01140           学分:3.5                课程类别:专业任选课

计划学时:56         其中讲课:56            实验或实践:0            上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范),信息与计算科学

推荐教材:张禾瑞. 近世代数基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 2014

参考书目:1. 吴品三. 近世代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987

2. 邢伟. 近世代数[M].北京: 科学出版社, 2010

3. 杜奕秋, 程晓亮. 近世代数[M]. 北京:北京大学出版社, 2013

4. 唐高华. 近世代数[M].  北京: 清华大学出版社, 2008

5. 刘绍学. 近世代数基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999

6. 石生明. 近世代数初步[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002

7. 杨子胥. 近世代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003

 

课程的教学目的与任务

本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。通过本课程的学习,使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法,加深学生对数学的基本思想和方法的理解,增强学生的抽象思维、逻辑推理能力,培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型,培养学生分析问题、解决问题的能力。

 

课程的基本要求

1. 要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。

2. 要求学生独立完成大部分课后习题,通过练习加深对概念的理解和掌握,熟悉各个定理的运用,从而达到消化、掌握所学知识的目的。

3. 要求学生阅读一定量的课外参考书,扩大视野,从而培养抽象思维和推理的能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第一章  基本概念                                      建议学时:8

[教学目的与要求]  熟练掌握集合、映射、代数运算、同态与同构、等价关系与集合的分类等概念,掌握代数运算通常所满足的规律。

[教学重点与难点]  同态映射、等价关系、同态映射、同余关系。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  集合

第二节  映射

第三节  代数运算

第四节  结合律

第五节  交换律

第六节  分配律

第七节  一一映射、变换

第八节  同态

第九节  同构、自同构

第十节  等价关系与集合的分类

 第二章  群论                                          建议学时:18

[教学目的与要求]  熟练掌握群的定义及其元素的性质;了解变换群的概念及其性质;掌握置换群的概念,熟练掌握将一个置换分解为不相连循环置换的乘积的方法;熟练掌握循环群的概念、构造及其性质;熟练掌握子群、不变子群、陪集、商群的概念,特别是子群与不变子群的判定方法;熟练掌握有限群的拉格朗日定理、群同态基本定理的内容及其应用。

[教学重点与难点]  同态基本定理、群同构与同态。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

 第一节  群的定义

   一、群的第一定义

   二、群的第二定义

 第二节  单位元、逆元、消去律

 第三节  有限群的另一定义

第四节  群的同态

第五节  变换群

第六节  置换群

第七节  循环群

第八节      子群

第九节      子群的陪集

第十节  不变子群、商群

第十一节  同态与不变子群

 

第三章  环与域                                        建议学时:16

[教学目的与要求]  熟练掌握环、无零因子环、整环、除环、域的定义及其性质,理解交换律、单位元、零因子在环里的作用;熟练掌握子环、理想、最大理想的定义及其判定方法;熟练掌握环同态的概念及其性质;熟练掌握商环的概念、环同态基本定理的内容及其应用;理解多项式环的概念及其性质;了解由环生成域的两种方法,即最大理想法及商域。

[教学重点与难点]  无零因子环的特征、环的同态、主理想。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  加群、环的定义

第二节  交换律、单位元、零因子、整环

 第三节  除环、域

第四节  无零因子环的特征

第五节  子环、环的同态

第六节 多项式环

第七节      理想

第八节      剩余类环

第九节      最大理想

第十节  商域

 

第四章  整环里的因子分解                              建议学时:10

[教学目的与要求]  熟练掌握单位、素元、相伴元、唯一分解的概念及其性质;熟练掌握唯一分解环、主理想环、欧氏环的概念及其性质,尤其是主理想环的性质;掌握多项式环因子分解的相关问题、即唯一分解环的一元多项式环还是唯一分解环;掌握多项式根的概念及其性质。

[教学重点与难点]  唯一分解环、主理想环、欧氏环。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  素元、唯一分解

第二节  唯一分解环

第三节  主理想环

第四节  欧氏环

第五节  多项式环的因子分解

第六节 因子分解与多项式的根

 

第五章  扩域                                          建议学时:4

[教学目的与要求]  理解扩域的概念及其性质;理解素域的定义;了解单扩域的概念及其构造;了解极小多项式的概念及其性质;了解代数扩域、有限扩域的概念及其性质,代数扩域与有限扩域之间的关系;了解分裂域、有限域的概念及其性质。

[教学重点与难点]  代数扩域、有限扩域、有限域的性质。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 扩域、素域

第二节  单扩域

第三节  代数扩域

第四节  多项式的分裂域

第五节  有限域

                                撰稿人:王秀云   审核人:吕洪波

 
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