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《数理方程》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:371

《数理方程》教学大纲

  Equations of Mathematical Physics

 

课程编码:09A03090      学分:2.5           课程类别:专业任选课

计划学时: 40           其中讲课:40        实验或实践:0        上机:0

适用专业:信息与计算科学

推荐教材:谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基. 数学物理方程[M]. 北京:高等教育出版社,2012.7.

参考书目:1. 陈恕行. 数学物理方程学习辅导二十讲[M]. 北京:高等教育出版社,2015.8.

          2.顾樵. 数学物理方法[M]. 北京:科学出版社,2015.1.

课程的教学目的与任务

数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过数理方程的教学,使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论,培养学生的理论思维能力,为从事应用数学、信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法,掌握三个典型方程定解问题的解法,为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程提供了必要的数学基础。

课程的基本要求

1. 能够推导热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程,并熟练求解上述三类古典方程的定解问题;

2. 能从物理模型和数学理论两个方面把握这三类方程解的共同点和不同点。

3. 了解各类方程数值解的特点。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

第一章:波动方程                                   建议学时:14

[教学目的与要求] 理解三类基本方程的建立方法和相应的物理模型,掌握三类方程的基本形式;    掌握初始条件和边界条件的概念和各类定解条件的表达方法;了解定解问题的相关概念,能正确写出一些典型物理问题的定解问题;会用行波法及分离变量法求解波动方程;了解高维波动方程相应问题;了解波的传播和衰减,能量不等式及其应用。

[教学重点与难点] 波动方程的推导与行波法及分离变量法求解

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节 方程的导出、定解条件

一、弦振动方程的导出

二、定解条件

三、定解条件适定性概念

第二节 达朗贝尔公式、波的传播

一、叠加原理

二、弦振动方程的达朗贝尔解法

三、传播波

四、依赖区间、决定区域和影响区域

五、齐次化原理

第三节 初边值问题的分离变量法

  一、分离变量法

  二、解的物理意义

  三、非齐次方程的情形

  四、非齐次边界条件的情形

第四节 高维波动方程的柯西问题

  一、膜振动方程的导出

  二、定解条件的提法

  三、球平均法

  四、降维法

五、非齐次波动方程柯西问题的解

第五节 波的传导与衰减

  一、依赖区域、决定区域和影响区域

  二、惠更斯原理、波的弥散

三、波动方程解的衰减

第六节 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

一、振动的动能和位能

二、初边值问题解的唯一性与稳定性

三、柯西问题解的唯一性与稳定性

第二章:热传导方程                                  建议学时:10

[教学目的与要求] 领会热传导方程及其定解问题的导出方法;理解并会应用初边值问题的分离变量法;了解极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性相关方法及其应用

[教学重点与难点]  热传导方程的推导与分离变量法求解

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节 热传导方程及其定解问题的导出

         一、热传导方程的导出

         二、定解条件的提法

         三、扩散方程

第二节 初边值问题的分离变量法

         一、一个空间变量的情形

         二、圆形区域上的热传导方程

第三节 柯西问题

一、 傅里叶变换及其基本性质

二、 热传导方程柯西问题的求解

三、 解的存在性

第四节 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性

一、 极值原理

二、 初边值问题解的唯一性和稳定性

三、 柯西问题解的存在性和唯一性

第三章:调和方程                                    建议学时:6

[教学目的与要求] 能够建立方程、给出定解条件;领会和应用格林公式;了解格林函数的特点;理解和学会应用强极值原理

[教学重点与难点]  格林公式的使用和极值原理

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节 建立方程、定解条件

一、 方程的导出

二、 定解条件和定解问题

三、 变分原理

第二节 格林公式及其应用

一、 格林公式

二、 平均值定理

三、 极值原理

四、 第一边值问题解的唯一性及稳定性

第三节 格林函数 

一、 格林函数及其性质

二、 静电源像法

三、 解的验证

四、 调和函数的基本性质

第四节 强极值原理、第二边值问题解的唯一性

一、 强极值原理

二、 第二边值问题解的唯一性

三、 用能量积分法证明边值问题解的唯一性

第四章:二阶线性偏微分方程的分类和总结              建议学时:6

[教学目的与要求] 掌握二阶线性方程的分类方法;了解二阶线性方程的特征理论;熟悉三类方程的特点

[教学重点与难点]  二阶线性方程的特征理论与三类方程的分离比较

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节 二阶线性方程的分类 

一、 两个自变量的方程

二、 两个自变量的二阶线性方程的化简

三、 方程的分类

四、

第二节 二阶线性方程的特征理论  

一、 特征概念

二、 特征方程

三、

第三节 三类方程的比较

一、 线性方程的叠加原理

二、 解的性质的比较

三、 定解问题提法的比较

第五章:偏微分方程数值解                             建议学时:4

[教学目的与要求] 了解三类方程基本数值方法的原理与思路;会用有限差分方法求解简单偏微分方程定解问题

[教学重点与难点] 偏微分方程差分方法

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节 调和方程狄利克雷问题的数值解

一、 有限差分法

二、 元体平衡法

三、 有限元素法(里茨Ritz法)

四、 有限元素法(伽辽金法)

第二节 热传导方程的差分法

一、 一维热传导方程的显式差分格式

二、 差分格式的收敛性和稳定性

三、 隐式格式及其稳定性

第三节 波动方程的差分法

  一、波动方程初边值问题的差分格式

撰稿人:李西成       审核人: 靳绍礼

 
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