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《矩阵论》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:353

《矩阵论》教学大纲

Matrix Analysis

 

课程编码:09A03110           学分: 3          课程类别:专业任选课

计划学时:  48            其中讲课:  48     实验或实践: 0       上机:0

适用专业:信息与计算科学

推荐教材:徐仲、张凯院等,矩阵论简明教程,北京:科学出版社,2008

参考书目:

[1] 罗家洪,矩阵分析引论,广州:华南理工大学大学出版社,2000

[2] 罗家诺,矩阵分析理论,广州:华南理工大学出版社,2002

[3] 黄有度等,矩阵理论及其应用,合肥:中国科技大学出版社,2005

[4] 程云鹏等,矩阵论,西安:西北工业大学出版社,2006

 

课程的教学目的与任务

矩阵理论是高等学校理、工科研究生的一门重要的数学基础课程。作为一门数学工具,矩阵理论在数学学科及其它科学技术领域的应用日益广泛,如控制理论、机械工程及经济管理等领域。本课程的教学目的是要求学生掌握矩阵的基本理论和方法。通过对本课程的学习,使学生进一步掌握数学的基本思想方法,具备一定的科学计算能力,提高学生的逻辑思维能力,进一步提高其分析及解决实际问题的综合能力。为后继课程的学习和将来从事科学研究打下坚实的基础。

 

课程的基本要求

本课程的先修课程是线性代数、高等数学及复变函数和积分变换等。要求学生掌握多项式矩阵的Smith标准型、一般方阵的Jordan标准型的化简;了解Eclide空间与Hermite二次型的有关理论与方法;理解向量与矩阵的范数概念,掌握矩阵的幂级数与方阵函数的概念与理论及其相关运算;了解圆盘定理并会估计方阵的特征值;掌握矩阵的分解,了解矩阵的广义逆、矩阵的直积等。通过本课程的学习,掌握矩阵的基本理论和方法,同时,要求学生能运用矩阵的基本理论和方法,逐步提高分析与解决控制理论等与本专业相关的实际问题的综合能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第一章:  矩阵的相似变换                                               建议学时:9

[教学目的与要求] 了解Jordan标准形的基本结论,掌握方阵Jordan的特征向量法、初等变换法、行列式因子法。理解Hamilton-Cayley定理及最小多项式的概念,掌握向量的内积的概念与运算。理解正规矩阵的概念,掌握酉相似下的标准形的方法及酉相似对解化的充要条件。

[教学重点与难点] 教学重点是Jordan标准形的求法;难点是酉相似对解化的充要条件。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节  特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的定义

二、特征值与特征向量的性质

第二节  相似对角化

一、相似对角化的定义及性质

二、相似对角化的方法及应用

第三节  Jordan标准型

一、    Jordan标准型的定义及性质

二、    Jordan标准型的求法

三、    Jordan标准型的应用

第四节  Hamilton-Cayley定理

一、    Hamilton-Cayley定理

二、    定理在简化矩阵运算中的应用

第五节  向量的内积

一、    向量内积的定义及性质

二、    Schmidt正交化方法

三、    酉矩阵的定义及性质

第六节  酉相似下的标准形

一、Schur定理

二、酉相似对角化的条件及方法

三、Hhermite(半)正定矩阵及判定

第二章:   范数理论                                                          建议学时:9

 

[教学目的与要求] 理解向量的范数、等价的向量范数概念,掌握重要的向量范数。理解方阵的范数、长方阵的范数、从属范数及范数的相容性等概念,掌握重要的方阵范数。

[教学重点与难点] 教学重点是常见的矩阵范数;难点是矩阵范数的相容性。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节   向量范数

一、向量范数的定义及性质

二、常见的几种向量范数

三、向量序列的收敛及反散

第二节  矩阵范数

一、 方阵范数的定义及性质

二、 方阵范数与向量范数的相容性

三、 从属范数

四、 长方阵的范数

第三节   范数应用举例

  一、矩阵的谱半径

  二、矩阵的条件数

 

第三章:   矩阵分析                                                        建议学时:12

[教学目的与要求] 理解矩阵序列与矩阵级的概念;掌握收敛的充要条件及收敛性质。理解矩阵函数的概念、掌握矩阵函数的性质,掌握矩阵函数的四种计算方法。了解矩阵函数的微分与积分概念,会用矩阵函数的理解微分方程及矩阵方程、方程组的最小二乘解。

[教学重点与难点] 教学重点是矩阵函数的性质及计算;难点是矩阵函数的性质。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节   矩阵序列

一、   矩阵序列的收敛及发散的定义

二、   矩阵序列收敛的性质

三、   收敛矩阵的定义及判定

第二节     矩阵级数

一、     矩阵级数收敛、发散的定义

二、     矩阵级数绝对收敛的充要条件

三、     矩阵幂级数及性质

第三节       矩阵函数

一、     矩阵函数的定义

二、     矩阵函数值的计算

三、     常用矩阵函数的性质

第四节   矩阵的微分与积分

一、函数矩阵的微分与积分

二、数量函数对矩阵变量的导数

三、矩阵值函数对矩阵变量的导数

第五节   矩阵分析应用举例

  一、求解一阶线性常系数微分方程组

  二、求解矩阵方程

三、 最小二乘问题

第四章:   矩阵分解                                                       建议学时:9

 

[教学目的与要求] 理解矩阵的三角分解的条件;掌握矩阵的QR分解的两种方法;掌握矩阵的满秩分解与奇异值分解。

[教学重点与难点] 教学重点及难点是掌握矩阵的各种分解的不同的方法。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节  矩阵的三角分解

一、三角分解及其存在唯一性问题

二、三角分解的紧凑计算格式

第二节  矩阵QR分解

一、           Householderz矩阵与Givens矩阵

二、           矩阵的QR分解

三、           矩阵酉相似于Hessenberg矩阵

第三节                    矩阵的满秩分解

一、 Hermite 标准形

二、 矩阵的满秩分解

第四节  矩阵的奇异值分解

一、酉等价及奇异值的定义

二、矩阵的奇异值分解

第五章:   特征值的估计与表示                                               建议学时:3

 

[教学目的与要求] 理解圆盘定理,会用定理估计一般矩阵的特征值的范围;Hermite矩阵特征值;广义特征值。

[教学重点与难点] 教学重点是圆盘定理及特征值的隔离。难点是圆盘定理。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节  特征值界的估计

  一、特征值界的估计引理与定理

第二节   特征值的包含区域

一、   Gerschgorin定理

二、   特征值的隔离

三、   Ostroeski定理

第四节           Hermite特征值的表示

一、矩阵的Rayleigh

二、Hermite矩阵特征值的极小极大原理

第四节 广义特征值表示

   一、广义特征值问题

   二、广义特征值的表示

第六章:   广义逆矩阵                                                      建议学时:3

 

[教学目的与要求] 理解广义逆矩阵概念,掌握一般应用。

[教学重点与难点]  教学重点是广义逆矩阵的概念;难点是利用广义逆矩阵给出线性方程组解的各种描述。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

第一节    广义逆矩阵的概念

   一、广义逆矩阵的概念

第二节      1]逆及其应用

   一、1]逆的计算及有关性质

   二、1]逆的应用

   三、由[1]逆构造出其它的广义逆矩阵

第三节   Moore-PenroseA

  一、A的计算及有关性质

  二、A在解线性方程组中的应用

 

第七章:   矩阵的直积                                                      建议学时:3

[教学目的与要求] 理解矩阵直积的定义与性质,掌握一般应用。

[教学重点与难点] 教学重点及难点是直积的性质。

[授课方法] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[授课内容]

第一节  直积的定义和性质

一、直积的定义

二、直积的性质

第二节  直积的应用

一、矩阵的拉直及其与直积的关系

二、线性矩阵方程的可解性及其求解

撰稿人:陈兆英       审核人:靳绍礼 

 

 
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