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《数学分析3》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月11日  点击次数:301

《数学分析3》教学大纲

Mathematical  Analysis  III

 

课程编码:09A01060      学分:6.0           课程类别:专业基础必修课

计划学时:96           其中讲课:96       实验或实践:0       上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)、信息与计算科学、金融数学

推荐教材:华东师范大学数学系 编,《数学分析》[M]第四版,下册,高等教育出版社,2010.

参考书目:1. 邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》[M]上、下册,高等教育出版社,1999.   

2. 陈纪修、於崇华、金路编著《数学分析》[M]上、下册,高等教育出版社,1999.

3. 裴礼文 编,《数学分析中的典型问题与方法》,高等教育出版社,1993.

 

课程的教学目的与任务

本课程的教学目的是使学生获得幂级数、傅里叶级数以及多元函数微积分的基本概念、基本理论和基本方法,通过对幂级数、傅里叶级数、多元函数极限理论、微分理论、积分理论的解读和把握,提高数学素养,对近代数学的思想和方法得到深刻的理解和掌握,进而对后继课程学习和今后的工作打下坚实的基础。通过本课程的学习,学生应该掌握幂级数、傅里叶级数、多元函数极限、连续、微分和积分的概念和理论,能熟练掌握幂级数,傅里叶级数的基本理论和基本方法,熟练计算多元函数的微分和积分,掌握多元函数各种积分之间的关系,进而灵活运用这些基本理论和方法,处理一些实际问题。 

 

课程的基本要求

1、在学习本课程的过程中,学生要加强对基本概念和基本理论的学习,精读教材,按时独立完成作业,加强基本能力的培养和训练。

2、要求学生学完本课程后,要具有运用幂级数、傅里叶级数的基本理论和方法解决数学问题的能力,准确分析和判断多元函数连续性和可微性的能力,熟练计算多元函数微分和积分的能力,对概念的认识、理解和相互串联的能力,对数学问题的条件和结论的合理设计能力,进行简单的理论研究和应用研究的能力,对问题的独立思考能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第十四章   幂级数                                             建议学时:8

[教学目的与要求] 掌握幂级数的性质,会求收敛半径,会求一些幂级数的和函数。记住某些典型的初等函数的幂级数展式,并能将一些简单函数展成幂级数。

[教学重点与难点] 幂级数的收敛性和一致收敛性

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 幂级数

一、幂级数的收敛区间 

         二、幂级数的性质     

         三、幂级数的运算     

第二节 函数的幂级数展开       

一、泰勒级数     

         二、初等函数的幂级数展开 

 

第十五章   傅里叶级数                                       建议学时:8

[教学目的与要求] 理解收敛定理的意义。会将若干函数展成傅里叶级数。会利用某些展式求一些特殊数项级数的和。了解傅里叶级数逐项可微和逐项积分条件。

 [教学重点与难点] 傅里叶级数的展开

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 傅里叶级数

  一、三角级数 正交函数系

  二、以为周期的函数的傅里叶级数

  三、收敛定理

第二节 为周期的函数的傅里叶级数

  一、以为周期的函数的傅里叶级数

  二、偶函数和奇函数的傅里叶级数

第三节 收敛定理的证明

 

第十六章   多元函数的极限与连续                             建议学时:10

[教学目的与要求] 掌握平面点集的一些概念:聚点、内点、开集、闭集、开域、闭域等。掌握平面点集的基本定理。掌握二元函数定义。掌握重极限与累次极限定义。会求重极限与累次极限,掌握累次极限换序的条件。掌握二元函数连续与一致连续的定义,以及有界闭域上连续函数的性质。

[教学重点与难点] 二元函数的连续性

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 平面点集与多元函数

  一、平面点集

  二、上的完备性定理

  三、二元函数

  四、元函数

第二节 二元函数的极限

一、二元函数的极限

  二、累次极限

第三节 二元函数的连续性

  一、二元函数的连续性概念

  二、有界闭域上连续函数的性质

  

第十七章   多元函数微分学                             建议学时:18

[教学目的与要求] 掌握偏导数的定义及求偏导数的运算,特别是多元复合函数求导数的运算。理解全微分的概念及意义,掌握一阶微分形式不变性,会求多元函数的全微分。能够将简单的二元函数展成泰勒公式或马克劳林公式,掌握二元函数的中值定理。会求二元函数的局部极值和最大(小)值。掌握方向导数定义,会求函数沿方向L的方向导数。

[教学重点与难点] 复合函数的微分

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 可微性

  一、可微性与全微分

  二、偏导数

  三、可微性条件

  四、可微性几何意义及其应用

第二节 复合函数微分法

一、复合函数的求导法则

  二、复合函数的全微分

第三节 方向导数和梯度

第四节 泰勒公式与极值问题

  一、高阶偏导数

  二、中值定理和泰勒公式

  三、极值问题

 

第十八章   隐函数定理及其应用                           建议学时:10

[教学目的与要求] 深刻理解隐函数的概念与意义,掌握有一个方程确定的隐函数的充分条件。知道二元函数组在一点的邻域内存在反函数组的条件。会求隐函数及隐函数组的导数或偏导数及高阶导数或偏导数。会求函数组的函数行列式,并掌握函数行列式性质。会求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面及曲面的切面与法线。掌握条件极值的必要条件,并会用拉格朗日乘数法求条件极值。

[教学重点与难点] 隐函数求导

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 隐函数

  一、隐函数的概念

  二、隐函数存在条件的分析

  三、隐函数定理

  四、隐函数求导举例

第二节 隐函数组

一、隐函数组的概念

  二、隐函数组定理

  三、反函数组与坐标变换

第三节 几何应用

  一、平面曲线的切线与法线

  二、空间曲线的切线与法平面

  三、曲线的切平面与法线

第四节 条件极值

 

第十九章   含参量积分                               建议学时:10

[教学目的与要求] 掌握含参变量非正常积分所定义的函数的分析性质及其证明。掌握含参量非正常积分的一致收敛定义及其判别法,并会叙述非一致收敛概念。应用积分号下可微性和可积性来计算一些非正常积分的值。记住函数和函数的定义及其性质,并会用函数与函数计算一些积分的值

[教学重点与难点] 参变量非正常积分的一致收敛性

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 含参量正常积分

第二节 含参量反常积分

  一、一致收敛性及其判别

  二、含参量反常积分的性质

第三节 欧拉积分

一、函数

  二、函数

  三、函数与函数之间的关系

 

第二十章   曲线积分              &n, bsp;                建议学时:6

[教学目的与要求] 掌握第一型曲线积分的概念及物理意义,熟练计算第一型曲线积分。掌握第二型曲线积分概念,

[教学重点与难点] 第二型曲线积分

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 第一型曲线积分

一、第一型曲线积分的定义

  二、第一型曲线积分的计算

第二节 第二型曲线积分

  一、第二型曲线积分的定义

  二、第二型曲线积分的计算

  三、两类曲线积分的联系

 

第二十一章  重积分                                 建议学时:18

[教学目的与要求] 掌握二重积分的定义,可积条件、性质,几何意义。牢记格林公式的条件与结论并会证明此定理,会应用。掌握曲线积分与路线无关的条件,并能用它求第二型曲线积分掌握二重积分的计算方法,会根据被积函数和积分域的不同特点,选取不同的计算方法。弄清三重积分的定义、物理意义及性质,能灵活地运用柱坐标变换和球坐标变换计算三重积分。能用重积分解决一些几何与物理问题

[教学重点与难点] 二重积分和三重积分的计算

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 二重积分的概念

一、平面图形的面积

  二、二重积分的定义及其存在性

  三、二重积分的性质

第二节 直角坐标系下二重积分的计算

第三节 格林公式 曲线积分与路线的无关性

  一、格林公式

  二、曲线积分与路线的无关性

第四节 二重积分的变量变换

  一、二重积分的变量变换公式

  二、用极坐标计算二重积分

第五节 三重积分

  一、三重积分的概念

  二、化三重积分为累次积分

  三、三重积分换元法

第六节 重积分的应用

  一、曲面的面积

  二、质心

  三、转动惯量

  四、引力

 

第二十二章  曲面积分                              建议学时:8

[教学目的与要求] 掌握第一型曲面积分的概念及物理意义,熟练计算第一型曲面积分。掌握曲面的侧的概念,掌握第二型曲面积分概念及主要性质,并能正确计算第二型曲面积分。掌握高斯公式与斯托克斯公式的条件与结论,并会证明这两个定理会用这两个定理计算曲面积分。会应用空间曲线积分与路线无关的条件,计算或论证某些问题。

[教学重点与难点] 第二型曲面积分的计算

[      ] 以课堂讲授为主,课下自学和练习为辅。

[      ]

第一节 第一型曲面积分

一、第一型曲面积分的概念

  二、第一型曲面积分的计算

第二节 第二型曲面积分

一、曲面的侧

  二、第二型曲面积分的概念

  三、第二型曲面积分的计算

  四、两类曲面积分的联系

第三节 高斯公式和斯托克斯公式

  一、高斯公式

  二、斯托克斯公式

第四节 场论初步

  一、场的概念

  二、梯度场

  三、散度场

  四、旋度场

  五、管量场与有势场

 

 

撰稿人:吴兆荣       审核人:吕洪波 

 

 
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