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《复变函数》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月10日  点击次数:2186

《复变函数》教学大纲

Functions of a Complex Variable

 

课程编码: 09A02020       学分:3.0           课程类别: 专业任选课

计划学时: 48             其中讲课:48        实验或实践:0        上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)

推荐教材:钟玉泉.《复变函数论》[M], 4. 北京:高等教育出版社,2013.8

参考书目: 1. 余家荣.《复变函数》[M], 3. 北京:高等教育出版社,2000.3

2. 路可见,钟寿国,刘士强.《复变函数》[M], 2. 武汉:武汉大学出版社,2007.1

3. 李忠.《复分析导引》[M]. 北京:北京大学出版社,2004.11

 

课程的教学目的与任务

通过该课程的学习,使学生正确理解复变函数中的基本概念,掌握其基本思想和基本方法,培养学生具有良好的分析问题和解决问题的能力,为学习本学科近代发展理论和后继课程打下基础。复变函数是数学分析的后继课,研究函数的性质也从实数域到了复数域上,使得学生开阔思路和开拓视野,从而提高数学素养,使学生对近代数学发展的思想和方法得到深刻的理解和掌握。

课程的基本要求

1. 正确掌握复变函数中的基本概念、基本性质。

2. 熟练掌握函数解析的判断方法、复积分的计算方法、级数展开方法、奇点的判断、留数定理的应用。

3. 掌握复变函数中的基本定理,包括柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的唯一性定理、柯西留数定理、泰勒定理、洛朗定理、鲁歇定理及刻画解析函数的几个等价定理等。能够应用这些定理进行简单的理论研究和应用研究。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

 第一章  复数与复变函数                                           建议学时:6

[教学目的与要求]  掌握复数的表示法及其相互转化关系,熟练掌握复数运算、共轭复数及其性质。正确理解区域、闭区域、有界区域与无界区域,单连通区域与复连通区域概念。深入理解复变函数的映射概念,理解复变函数的极限,连续性定义及其运算。

[教学重点与难点]  重点是复数的运算;复变函数的极限、连续的定义及性质;难点是复数辐角的计算。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

  第一节  复数

一、复数域与复平面

二、复数的模与辐角

三、复数的乘幂与方根及共轭复数

四、复数在几何上的应用举例

 第二节  复平面上的点集

一、平面点集的几个基本概念

二、区域与若尔当曲线

    第三节  复变函数

一、复变函数的概念

二、复变函数的极限与连续

    第四节  复球面与无穷远点

一、复球面

二、扩充复平面上的几个概念

第二章   解析函数                                                建议学时:8

[教学目的与要求] 正确理解复变函数的导数与解析函数的概念,掌握常用初等解析函数的特性,掌握幂函数与根式函数、指数函数与对数函数等初等多值函数的性质。 熟练掌握柯西黎曼方程及判断函数解析的条件,且能用以判断函数的解析性。

[教学重点与难点]  重点是学会利用定理判断函数的解析性;难点是理解多值函数的性质。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

  第一节  解析函数的概念与柯西-黎曼方程

一、复变函数的导数与微分

二、解析函数及其简单性质

三、柯西黎曼方程

  第二节  初等解析函数

一、指数函数

二、三角函数与双曲函数

  第三节  初等多值函数

一、根式函数与对数函数

二、一般幂函数与一般指数函数

第三章  复变函数的积分                                          建议学时:10

[教学目的与要求] 正确理解复变函数积分的概念及其基本性质。熟练掌握柯西积分定理及柯西积分公式,理解刘维尔定理及摩勒拉定理。能较熟练的计算简单复变函数的积分,能运用柯西积分定理、柯西积分公式及高阶导数公式计算闭路积分,对非闭路的情况能化为线积分或利用参数计算。掌握调和函数与解析函数的关系,对给定的调和函数会求出相应的解析函数。

[教学重点与难点] 柯西积分定理及其推广,柯西积分公式及其推论,复积分的计算。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

 第一节  复积分的概念及其简单性质

一、复变函数积分的定义

二、复变函数积分的计算问题

三、复变函数积分的基本性质

 第二节  柯西积分定理

一、柯西积分定理

二、不定积分

三、柯西积分定理的推广

四、柯西积分定理推广到复周线的情况

 第三节  柯西积分公式及其推论

  一、柯西积分公式

二、解析函数的无穷可微性

三、柯西不等式与刘维尔定理、摩勒拉定理

   第四节 解析函数与调和函数的关系

一、解析函数与调和函数的关系

二、求解析函数的表达式

第四章  解析函数的幂级数表示                                   建议学时:6

[教学目的与要求]  掌握复数项级数的概念及基本性质,正确理解复函数级数的一致收敛性、连续性、可积性及解析性。会求幂级数的收敛半径,明确幂级数在收敛域内可进行代数运算及解析运算。了解收敛半径与孤立奇点的关系。会用直接法或间接法把解析函数展成泰勒级数,正确理解解析函数的零点孤立性定理、唯一性定理及最大模定理。

[教学重点与难点] 复幂级数的性质,解析函数展成泰勒级数,零点的孤立性定理,唯一性定理。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

  第一节  复级数的基本性质

一、复数项级数

二、一致收敛的复函数项级数

三、解析函数项级数

 第二节  幂级数

一、幂级数的敛散性、收敛半径的求法

二、幂级数和的解析性

 第三节  解析函数的泰勒展开式

一、泰勒定理

二、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况

三、一些初等函数的泰勒展式

 第四节  解析函数零点的孤立性及惟一性定理

一、解析函数零点的孤立性

二、惟一性定理及最大模原理

第五章  解析函数的洛朗级数展开与孤立奇点                       建议学时:8

[教学目的与要求] 正确理解双边幂级数的定义及朗定理,会求解析函数在孤立奇点邻域内的朗展式。能根据朗级数展开将孤立奇点分类,并会判断孤立奇点的类型。 正确理解解析函数在无穷远点的性质。 掌握整函数与亚纯函数的概念。

[教学重点与难点] 解析函数在孤立奇点邻域内的朗展开判断孤立奇点的类型。

[     ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

  第一节  解析函数的洛朗展式

一、双边幂级数及解析函数的洛朗展式

二、洛朗级数与泰勒级数的关系

三、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式

  第二节  解析函数的孤立奇点

一、介绍孤立奇点的三种类型

二、判断可去奇点、极点、本质奇点的方法及求法

  第三节  解析函数在无穷远点邻域的性质

介绍解析函数在无穷远点邻域的性质

   第四节  整函数与亚纯函数概念

介绍整函数与亚纯函数概念

第六章  留数理论及其应用                                        建议学时:10

[教学目的与要求] 正确理解留数的定义,掌握留数定理及求留数的方法。学会利用留数定理计算复积分及某些类型的实积分。正确理解辐角原理及鲁歇定理的意义与证明方法,会用鲁歇定理证明代数学基本定理及判断方程根的个数。

[教学重点与难点] 留数的求法,利用留数定理计算复积分、实积分。用鲁歇定理判断方程根的个数。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论为辅。

[      ]

 第一节  留数

一、留数的定义及留数定理

二、留数的求法

三、函数在无穷远点的留数

 第二节  用留数定理计算实积分

一、计算型积分

二、计算型积分

三、计算型积分

 第三节  辐角原理及其应用。

一、对数留数与辐角原理

二、鲁歇定理及应用

 

撰稿人:朱丽芹     审核人:吕洪波

 

 

 
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