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《实变函数》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月10日  点击次数:351

《实变函数》教学大纲

Real Variable Functions

课程编码: 09A01130        学分:  3.5        课程类别: 专业任选课

计划学时:  56            其中讲课:  56     实验或实践:  0      上机:0

适用专业: 数学与应用数学(师范)、信息与计算科学

推荐教材:程其襄等, 《实变函数与泛函分析基础》(第三版),高等教育出版社,2010.

参考书目:夏道行等, 《实变函数论与泛函分析》(上册),高等教育出版社, 1984.

 

课程的教学目的与任务

本课程是数学专业基础课,也是微积分的进一步深化,这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析,函数论,微分方程,概率论和科学研究提供必不可少的基础知识本课程主要是以nEuclid空间及其上实值函数为背景,运用点集分析的方法建立测度与积分的理论,具体内容包括:集合、映射,Rn中点集的拓朴,可测集和可测函数,积分理论,微分和不定积分。通过本课程的学习,学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质,深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论,并在学习过程中提高抽象思维能力和逻辑推理能力。

 

课程的基本要求

通过实变函数这一学科的学习,应使学生较好的掌握测度与积分这两个基本的数学工具,掌握积分运算的技巧,特别是极限与积分顺序的交换。在一定程度上掌握集合的分析方法。通过这门学科的教学,要加强对学生的抽象思维能力,逻辑推理能力的培养。在某些与数学分析相关的教学内容中,要引导学生在学习新知识的同时,加深对原有知识的内容及背景的理解。为泛函分析,概率论,随机过程,控制理论等后续课程的学习打下良好的基础。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第一章  集合                               建议学时:10学时

[教学目的与要求] 熟练掌握集合的代数运算和极限运算,了解基数的概念,掌握可数集合与不可数集合的概念和性质,能应用Bernstein定理确定一些集合的势。

[教学重点与难点]  基数,可数集与不可数集

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  集合的表示

第二节  集合的运算

第三节  对等与基数

第四节  可数集合

第五节  不可数集合

 

第二章  点集                                建议学时:10学时

[教学目的与要求] 熟悉欧氏空间中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。了解直线上开集、闭集、完备集的构造

[教学重点与难点]  开集,闭集,完备集及其性质

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  度量空间与n维欧氏空间

第二节  聚点、内点、界点

第三节  开集、闭集、完备集

第四节  直线上开集、闭集、完备集的构造

第五节  康托尔三分集

 

第三章  测度论                                建议学时:10学时

[教学目的与要求] 掌握外测度的概念,正确理解Caratheudory条件,熟练掌握测度及其性质,熟悉一些重要的可测集类,理解不可测集的典型例子

[教学重点与难点]  可测集的构造,不可测集

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  外测度

第二节  可测集

第三节  可测集类

第四节  不可测集

 

第四章  可测函数                               建议学时:10学时

[教学目的与要求] 熟练掌握可测函数的概念及其基本性质,正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念,通过对本章中几个基本定理证明过程的分析,深刻领会实分析中的点集分析方法。

[教学重点与难点]  可测函数的构造,依测度收敛

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  可测函数及其性质

第二节  叶果洛夫定理

第三节  可测函数的构造

第四节  依测度收敛

 

第五章  积分论                               建议学时:16学时

[教学目的与要求] 正确掌握积分的定义及其基本性质;掌握并能熟练应用积分的Levi定理,Fatou定理,Lebesgue控制收敛定理;掌握乘积测度和重积分的概念,熟练掌握Fubini定理,了解一般集上的测度和积分理论概要。

[教学重点与难点]  勒贝格积分的定义与性质,积分的极限定理与富比尼定理。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  黎曼(Riemann)积分的局限性,勒贝格(Lebesgue)积分简介

第二节  非负简单函数的勒贝格积分 

第三节  非负可测函数的勒贝格积分

第四节  一般可测函数的勒贝格积分

第五节  黎曼积分和勒贝格积分

第六节  勒贝格积分的几何意义,富比尼(Fubini)定理

 

 

 

                                            撰稿人:孙红卫   审核人:吕洪波

 

 
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