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《微分几何》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月10日  点击次数:752

《微分几何》教学大纲

Differential Geometry

课程编码:09A02040              学分:2.5           课程类别:专业任选课

计划学时: 40             其中讲课:40       实验或实践:0        上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)

推荐教材:梅向明,黄敬之编. 《微分几何》[M], (第四版), 北京: 高等教育出版社,2008.5

参考书目:1. 彭家贵,陈卿编著. 《微分几何》[M], 北京: 高等教育出版社, 2002.7

2. 陈维桓编著. 《微分几何》[M], 北京: 北京大学出版社, 2006.1

 

课程的教学目的与任务

微分几何是以数学分析(分析类课程)为工具研究几何图形性质的一门几何学分科,它的基本研究方法主要是向量分析法、张量分析法和活动标架法。本课程主要用向量分析法、张量分析法研究三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论。通过本课程的学习,使学生掌握以数学分析为工具研究几何图形性质的基本方法、为进一步学习微分几何的现代内容打下基础。

课程的基本要求

1. 使学生掌握用向量分析法、张量分析法研究三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部性质的基本方法。

2. 为进一步学习微分几何的现代内容及后继课程打下基础。

3. 培养学生的空间想象能力和数形转化的能力。

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

第一章:曲线论                                              建议学时:10

[教学目的与要求]

1.       理解向量函数的极限、连续、微商、积分等概念、会求一元向量函数的极限、微商、积分及二

元向量函数的偏微商;

2.       理解简单曲线、光滑曲线、曲线的正常点、曲线的切向量、弧长、密切平面、从切平面、法平

面、基本向量、曲率、挠率、自然参数的概念;熟练掌握曲线的弧长、基本向量、曲率、挠率的计算公式、会求空间曲线的切向量、密切平面、从切平面、法平面、自然参数方程

3.       熟练掌握空间曲线的Frenet公式、会用它证明有关空间曲线的题目;

4.       了解空间曲线在一点邻近的结构;

5.       理解空间曲线论的基本定理、会求空间曲线的自然方程;

6.       理解一般螺线的概念,掌握一般螺线的性质;

[教学重点与难点] 曲率、挠率、基本向量的求法;Frenet公式及其应用。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下练习为辅。

[      ]

第一节  向量函数

一、向量函数的极限

二、向量函数的连续性

三、向量函数的微商

四、向量函数的泰勒公式

五、向量函数的积分

第二节  曲线的概念

一、曲线的概念

二、光滑曲线、曲线的正常点

三、曲线的切线和法面

四、曲线的弧长、自然参数

第三节  空间曲线

一、空间曲线的密切平面

二、空间曲线的基本三棱形

三、空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

四、空间曲线在一点邻近的结构

五、空间曲线论的基本定理

六、一般螺线

第二章:曲面论                                                 建议学时:30

[教学目的与要求]

1、  了解简单曲面及其参数表示;理解曲面的坐标曲线、曲纹坐标网的概念,会求坐标曲线、曲纹

坐标网的空间方程及曲纹坐标方程;

2、  理解光滑曲面、曲面的正常点、正规曲线网、切向量、切方向、切平面、法方向、双侧曲面的

概念;会求曲面在正常点的切平面和法线;理解曲面上的曲线族和曲线网的微分方程;

3、  理解等距变换和保角变换的概念;熟练掌握曲面的第一基本形式;会求曲面上曲线的弧长、两

方向的交角;正交曲线族和正交轨线;曲面域的面积;会判断两曲面的变换是否是等距变换和保角变换,并会求等距变换和保角变换的表达式。

4、  理解法截面、法截线、法曲率、法曲率半径、渐近方向、共轭方向、主方向、主曲率、Gauss

率、平均曲率、脐点、圆点、平点、椭圆点、双曲点、抛物点和极小曲面等概念;熟练掌握曲面的第二基本形式;会求渐近曲线、曲率线的方程;会求法曲率、主曲率、Gauss曲率和平均曲率;掌握曲纹坐标网是渐近网、共轭网、曲率线网的条件;会用梅尼埃定理、罗德里格定理、欧拉公式进行证明;理解Gauss映射、Gauss曲率的几何意义;掌握曲面的三个基本形式之间的关系;了解曲面在一点邻近的结构。

5、  理解直纹面和可展曲面的概念;知道可展曲面的分类,会判断一个直纹面是否为可展曲面;理

解单参数曲面族的包络概念,会求包络面的方程;掌握可展曲面的几个重要特征性质并会证明。

6、  掌握曲面的基本方程和Christoffel符号;会计算正交网下的Christoffel符号;掌握Riemann曲率

张量及其性质;掌握Gauss-Codazzi-Mainardi公式;熟练掌握正交网下Gauss曲率的计算公式;理解曲面论的基本定理,会判断是否存在曲面以给定的量为第一、二类基本量。

7、  理解测地曲率、测地线、半测地坐标网的概念;熟练掌握Liouville公式和正交网下测地线的方

程;掌握测地曲率、测地线的几何特征;了解测地线的存在唯一性、短程性;了解半测地坐标网下曲面的第一基本形式。

8、  熟练掌握Gauss-Bonnet公式及其推论。

9、  理解曲面上的向量及其平行移动的概念;掌握绝对微分及其性质。

10、理解常Gauss曲率的曲面;了解罗氏几何的微分几何模型。

[教学重点与难点] 利用曲面的两个基本形式研究曲面的内在和外在的性质;曲面的基本方程和

Christoffel符号。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下练习为辅。

[      ]

第一节  曲面论

一、简单曲面及其参数表示

二、光滑曲面、曲面的切平面和法线

三、曲面上的曲线族和曲线网

第二节  曲面的第一基本形式

一、曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长

二、曲面上两方向的交角

三、正交曲线族和正交轨线

四、曲面域的面积

五、等距变换

六、保角变换

第三节  曲面的第二基本形式

  一、曲面的第二基本形式

  二、曲面上曲线的曲率

  三、迪潘指标线

  四、曲面的渐近方向和共轭方向

  五、曲面的主方向和曲率线

  六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率

  七、曲面在一点邻近的结构

  八、Gauss曲率的几何意义

第四节  直纹面和可展曲面

一、直纹面

二、可展曲面

三、线汇

第五节  曲面论的基本定理

一、曲面的基本方程和Christoffel符号

二、曲面的Riemann曲率张量和Gauss-Codazzi-Mainardi公式

三、曲面论的基本定理

第六节  曲面上的测地线

一、曲面上曲线的测地曲率

         二、曲面上的测地线

         三、曲面上的半测地坐标网

         四、曲面上测地线的短程性

         五、Gauss-Bonnet公式

         六、曲面上向量的平行移动

         七、极小曲面

第七节  常高斯曲率的曲面

一、常高斯曲率的曲面

         二、伪球面

         三、罗氏几何

 

 

撰稿人:滕厚山       审核人:吕洪波 

 

 
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