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《泛函分析》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月10日  点击次数:728

《泛函分析》教学大纲

Founctional Analysis

课程编码: 09A02060     学分:  3.0       课程类别: 专业任选课

计划学时: 48            其中讲课:  48     实验或实践:  0      上机:0

适用专业: 数学与应用数学(师范)

推荐教材:程其襄等.《实变函数与泛函分析基础》[M]第三版,高等教育出版社,2010.

参考书目:夏道行等.《实变函数论与泛函分析》[M]下册,高等教育出版社, 1984.

 

课程的教学目的与任务

 

泛函分析是数学与应用数学专业本科生的专业选修课。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。这门课程的主要内容包括:空间论、算子论和谱论。 通过本课程的学习,使学生能了解现代泛函分析的基本概念、思想和方法。进一步获得集合分析,函数构造,函数类的整体观念与某些相当细致及概括性高的分析技巧。对提高学生的数学思维, 数学论证和科研能力起着重要的作用。

 

课程的基本要求

    本课程要求学生在数学分析的基础上,进一步掌握现代分析学的基本理论与方法,掌握抽象的赋范线性空间的几何与代数结构,理解掌握算子代数的基本方法与技巧。

1、通过本课程的学习,学生应掌握度量空间、赋范线性空间,内积空间等概念。掌握完备度量空间、Banach空间、希尔伯特空间的性质。

2、掌握线性算子,有界线性算子的概念。掌握泛函延拓定理、共鸣定理,逆算子定理和闭图像定理。

3、掌握线性算子谱的概念及其性质。

 

 

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

 

第一章  度量空间和线性赋泛空间                建议学时:12学时

[教学目的与要求] 掌握度量空间以及度量空间中的极限、稠密集等概念;了解可分空间、连续映照等概念;掌握柯栖点列和完备度量空间;掌握并回应用压缩映照原理;理解并掌握线性空间、线性赋范空间和巴那赫空间。

[教学重点与难点] 度量空间的完备化,线性赋范空间

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  度量空间的进一步的例子

第二节  度量空间中的极限、稠密集、可分空间

第三节  连续映照

第四节  柯西(Cauchy)点列和完备度量空间

第五节  度量空间的完备化

第六节  压缩映照原理及其应用

第七节  线性空间

第八节  线性赋范空间和巴那赫(Bananch)空间。

 

第二章  线性有界算子和线性连续泛函                  建议学时:6学时

[教学目的与要求] 掌握线性有界算子和线性连续泛函;会求算子的范数;理解线性算子空间和共轭空间的概念。

[教学重点与难点]  算子空间及共轭空间的刻画。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  有界线性算子和连续线性泛函

一、线性算子和线性泛函的定义

二、有界线性算子和连续线性泛函

三、有界线性算子和连续线性泛函的例子

第二节  有界线性算子空间和共轭空间

一、有界线性算子全体所成空间

二、共轭空间

第二节  广义函数

 

第三章  内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间             建议学时:12学时

[教学目的与要求] 掌握内积空间的基本概念;理解投影定理投影定理以及希尔伯特空间中的就范直交系;掌握希尔伯特空间上的连续线性泛函的表示;了解自伴算子、酉算子和正常算子。

[教学重点与难点]  希尔伯特空间中的规范直交系,泛函表示的Riesz定理,伴算子与酉算子。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  内积空间的基本概念

第二节  投影定理

第三节  希尔伯特空间中的规范直交系

第四节  希尔伯特空间上的连续线性泛函

第五节  自伴算子、酉算子和正常算子

 

第四章  巴那赫空间中的基本定理                         建议学时:12学时

[教学目的与要求] 掌握并会应用泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理、逆算子定理、闭图象定理,了解这些定理的证明过程;理解共轭算子、强收敛、弱收敛和一致收敛等基本概念

[教学重点与难点]  巴那赫空间的三大定理

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  泛函延拓定理

第二节  的共轭空间

第三节  共轭算子

第四节  纲定理和一致有界定理

第五节  强收敛、弱收敛和一致收敛

第六节  逆算子定理

第七节  闭图象定理

 

第五章  线性算子的谱                            建议学时:6学时

[教学目的与要求] 理解谱的概念;掌握有界线性算子谱的基本性质;了解全连续算子以及自伴全连续算子的谱理论。

[教学重点与难点]  谱的基本概念,全连续算子及其谱理论。

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  谱的概念

第二节  有界线性算子谱的基本性质 

第三节  紧集和全连续算子

第四节  自伴全连续算子的谱论

第五节  具对称核的积分方程

 

 

                                            撰稿人:吴兆荣   审核人:吕洪波

 

 
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