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《分析代数续》教学大纲
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年5月10日  点击次数:436

《分析代数续》教学大纲

Advanced Analysis and Algebra

 

课程编码:09A02090     学分:1.5                课程类别:专业任选课

计划学时:24           其中讲课:24             实验或实践:0            上机:0

适用专业:数学与应用数学(师范)

推荐教材:华东师范大学数学系主编,数学分析(上、下册)(第四版),高等教育出版社,2010.

         北京大学数学系前代数小组编,高等代数( 第四版), 高等教育出版社,2013.

参考书目:1、裴礼文主编,数学分析中的典型问题与方法,高等教育出版社,1993.

          2、王丽、李永军主编,高等代数选讲,同济大学出版社,2014.

课程的教学目的与任务

分析代数续,是数学分析和高等代数学习的进一步提高和升华,主要面向试图在数学和相关学科进一步深入学习和研究的学生,旨在培养学生灵活运用所学的理论知识去分析问题、解决问题的能力。通过对理论知识的复习和重点内容的补充及深入研讨,对数学分析和高等代数中的主要问题和方法进行系统的总结和分类。选择适当的典型问题和研究生入学试题,对学生进行基本理论的充实、基本解题能力训练,培养学生的思维能力与独立工作能力,提升学生对于基础数学理论的认知和综合数学素养的形成。

课程的基本要求

1、了解研究生入学考试对数学分析、高等代数知识的基本要求;

2、掌握与研究生入学考试水平相适应的数学分析、高等代数中典型问题和基本方法;

3、了解解题的基本思想,掌握解题方法。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

第一章  极限与连续                       建议学时:2

[教学目的与要求]  理解极限的概念,掌握证明极限存在的方法,会求极限的值。

[教学重点与难点]  数列收敛性的证明。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 用定义证明极限存在性

第二节 递推形式的极限

第三节 求极限的若干方法总结

第四节 关于函数连续性以及一致连续性的证明

第二章  一元微分学                                  建议学时:2

[教学目的与要求] 理解导数的定义和性质,掌握微分中值定理以及函数的凹凸性,会用导数研究函数。

[教学重点与难点] 函数的可导性,泰勒公式的应用

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 导数及其性质

第二节 微分中值定理与泰勒公式

第三节 函数的凹凸性

第四节 不等式的证明

第三章    一元函数积分学                              建议学时:2

[教学目的与要求]  理解函数可积性以及反常积分的收敛性,掌握积分的基本性质以及反常积分收敛性的判断方法,会求不定积分和定积分,会利用一元函数微分学和积分学的知识讨论若干综合问题。

[教学重点与难点]  函数的可积性与反常积分收敛性。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 定积分的可积性

第二节 积分与极限

第三节 积分不等式与综合问题

第四节 反常积分

第四章  级数理论                                   建议学时:2

[教学目的与要求]  理解级数收敛和发散的概念,掌握数值级数收敛和发散的判定方法;掌握函数列和函数项极限一致收敛的概念和基本性质,会判断一致收敛性;掌握幂级数的概念以及相关问题和方法;掌握傅里叶级数的基本概念和方法。

[教学重点与难点]  数值级数收敛性的判定,函数列的一致收敛性。

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 数值级数

第二节 函数列与函数项级数

第三节 幂级数

第四节 傅里叶级数

第五章    多元函数微分学                             建议学时:2

[教学目的与要求]  理解多元函数可偏导、可微、方向导数以及梯度等概念,掌握多元函数连续、可偏导、可微之间的关系,掌握隐函数以及隐函数组的概念,会求偏导数,会求函数的极值以及切线、切面的计算。

[教学重点与难点] 函数可微性的讨论,隐函数定理与隐函数导数的计算

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 多元函数极限与连续

第二节 多元函数偏导数、方向导数与梯度

第三节 多元函数泰勒公式、凸函数、极值以及几何应用

第四节 隐函数定理及其相关问题

第六章    多元函数积分学                                 建议学时:2

[教学目的与要求]  掌握含参变量积分的概念及其性质,以及含参变量积分的一致收敛性;掌握二重积分、三重积分,第一、二型线积分和面积分的基本计算方法。掌握格林公式,高斯公式,斯托克斯公式;掌握积分与路劲的无关性。

[教学重点与难点]  含参变量积分的一致收敛性及其应用,多元函数积分的计算

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节 含参变量积分

第二节 重积分

第三节 曲线积分与格林公式

第四节 曲面积分与高斯公式、斯托克斯公式

第一章  一元多项式                       建议学时:2

[教学目的与要求]  理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式与互素等概念及性质,用辗转相除法求最大公因式。理解不可约多项式的性质及因式分解定理。掌握复(实)系数多项式分解定理及标准分解式,并深刻理解本原多项式、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。

[教学重点与难点]  多项式互素,不可约多项式,因式分解

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅

[      ]

第一节  一元多项式,整除,最大公因式

第二节  互素,因式分解定理,重因式

第三节  复系数与实系数多项式的因式分解

第四节  有理系数多项式

第二章  行列式                                  建议学时:2

[教学目的与要求]  理解和掌握n级行列式的定义,正确理解元素的余子式、代数余子式等概念,熟练掌握化三角形法递推降阶法数学归纳法等计算行列式的技巧。正确理解克莱姆(Cramer)法则和k级子式及余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理

[教学重点与难点]  行列式的计算,克兰姆法则

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅

[      ]

第一节  n级行列式的性质及按一行(列)展开

第二节  行列式的计算

第三节  克兰姆法则

第四节  拉普拉斯(Laplace)定理、行列式的乘法规则

第三章    矩阵                                     建议学时:2

[教学目的与要求]  掌握矩阵的运算及规律,掌握,矩阵乘积的秩与因子的秩的关系。正确理解逆矩阵与伴随矩阵,掌握方阵可逆的充要条件和求法。理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系,理解矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件。熟练运用分块矩阵的初等变换解决需要问题。

[教学重点与难点]  矩阵的运算,逆矩阵的相关运用,矩阵初等变换,分块矩阵的运用

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅

[      ]

第一节  矩阵的运算、行列式、秩概念

第二节  矩阵的逆

第三节  矩阵的初等变换与初等矩阵

第四节  分块矩阵的初等变换

第四章    线性方程组与线性空间                    建议学时:2

[教学目的与要求] 1、正确理解线性空间与向量线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念及性质;2、理解基变换与坐标变换的关系。3、理解生成子空间的定义及等价条件,知道空间同构条件。4、掌握子空间的交与和及掌握维数公式。5、理解子空间的直和的充要条件。6、刻画线性方程组解的结构。

[教学重点与难点] 线性空间的和与直和,线性空间的同构,线性方程组解的结构

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅

[      ]

第一节  线性相关与极大线性无关组

第二节  线性空间的定义,维数,基与坐标,基变换与坐标变换

第三节  子空间的交与和,直和

第四节  线性方程组可解的条件与解的结构

第五章     线性变换                           建议学时:2

[教学目的与要求]  1、理解线性变换的性质及运算,理解线性变换的多项式理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式及哈密尔顿-凯莱定理,会求特征值和特征向量;2、掌握矩阵相似的性质及矩阵的相似标准形。3、线性变换的根子空间分解与矩阵化简之间的关系;

[教学重点与难点]  线性空间的基与坐标变换,线性变换及其特征值与特征向量,矩阵相似,线性变换的值域与核的刻画,特征多项式与不变因子、初等因子与最小多项式,约当标准形

[      ]  以课堂讲授为主,课堂讨论和课下自学为辅。

[      ]

第一节  线性变换的特征值与特征向量、特征子空间

第二节  哈密尔顿-凯莱定理

第三节  线性变换的不变子空间分解

第四节  矩阵相似

第六章    欧氏空间与二次型                                建议学时:2

[教学目的与要求] 1、理解内积与欧氏空间,度量矩阵,正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化过程;2、理解正交变换与正交矩阵的性质及等价关系;3、理解欧氏空间子空间正交与唯一的正交补,掌握对称变换并用正交变换化实二次型为标准形;4、理解二次型的规范形及惯性定理,熟练掌握正定的相关理论。

[教学重点与难点] 内积与欧氏空间,标准正交基,正交变换,对称变换,矩阵合同,正定矩阵

[      ] 以课堂讲授为主,课堂讨论、习题课及自学为辅

[      ]

第一节  内积与欧氏空间,标准正交基

第二节  正交变换与对称变换

第三节  正定二次型与正定矩阵

 

 

       撰稿人:吴兆荣、李可峰         审核人: 吕洪波      

 
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