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【数学家访谈】丘成桐谈学习数学(二)
作者:管理员  来源:本站原创  发布时间:2016年8月24日  点击次数:765

回答师生问题
  问:请问丘成桐老师,您当初是什么原因才选择做几何这方面?是否有什么机缘?另一个问题是,我已经大四了,一些老师问过我以后想要念些什么,我以前的想法是要念数学,现在碰到这样的问题,好像对分析、几何比较有感觉,可是念到代数和拓扑,又觉得很有挑战性,好像很可以去念一番,以您的经验,不知您有什么建议?
  答:我从前在香港时,觉得泛函分析很有意思,我很想念泛函分析,你讲我为什么对几何有兴趣,因为刚好我去以后,很多人在谈几何的问题,我自己也在看一些几何的问题,就这样做进去了。其实我的兴趣在很多方面,不能讲我的兴趣就在几何。我觉得数学不应当将它们分界得很明显,我也做很多其他方面的,这是第一点。弄懂第一个问题的回答后,也很容易回答你第二个问题。因为整个数学的走向不应当有很大的分界线,你现在念大四,既然对代数、拓扑也有很大的兴趣,你就应该花很大的工夫去看,将这方面的基础全部打好。你要开放心胸,根本不要讲你对哪几门有兴趣,干脆每一门都尽量念好就差不多了。譬如你刚念微分几何,几何的东西是在一个拓扑流形上才能做的,你非要将拓扑搞清楚,才能做微分几何,对不对?假如你要念分析,其实现在有很多人用拓扑的方法去做,用不动点原理,用比较不同的拓扑去做,这也要学。不然就像我很多朋友一样,分析很好很好,可是一遇到所谓微分流形上的方程,或一些与这些有关的问题就通通不敢碰。当然也不能讲一定不好,就是有一定的局限性在里面。一个好的数学家,每一门都要做得很好。你现在大四,念了几门,至少在大学的课程里面,每一门都应该念好。你不要讲你有没有能力做到,事实上你一定有能力。你现在不把大学课程念好,你以后还是要念好。因为数学本来不分彼此,不要分得太厉害,所以我的建议是在大学时,不一定就讲你固定喜欢哪一门,你可以讲我现在对某门课兴趣比较大,不过你随时可以改变,我想这是比较好的观点。
  数学是很自然的科学,研究很自然的现象,所以你看了以后知道什么东西比较重要,什么东西不重要。有一些数学我是不愿意做的,因为很矫揉造作(artificial)。每一个人的观点不同,我的观点是我不愿意做这些事。我是这样分的,而不是你们讲的按这一门那一门来分。
  历史上有许多科目到了某一地方以后,不是讲它们不行了,而是它们发展成熟到了一个地步以后,被吸收融合到其他科目中去了,这个领域基本上便不再独立存在。如一般拓扑学,在历史上起了一定的重要作用,可是在变成基础以后,被吸收到所有数学领域中去了,我们现在根本不谈了。一般拓扑学变成一个工具,不成为一个领域了。我们可以想像数学里面有很多这种课,就是讲到了某个地步以后,我们对整个理论了解透彻以后,不再需要分这门课,假如你刚好念到这门课,而你又不愿意且不懂其他门课,你做这行就很麻烦了。
  问:我听说有些数学家会对其他东西感兴趣,譬如对哲学有兴趣,不知道实际上怎么样?
  答:当然每一个人在课余的时候,都会有不同的兴趣,这是很重要的。我认为凡是对思考有帮助的科目,你去看它总是有好处的。哲学对你的思考有帮助,有好处。譬如爱因斯坦就对哲学有很大的兴趣,爱因斯坦一开始在做广义相对论的时候,讨论过哲学上的问题,他也受了一定的影响。我们念数学,当然主要的精神是用在数学上面,我想念其他对你思考有帮助,很明显对你的学科本身也会有好处。每一个人有不同的反应,你对文学可能有兴趣,我个人喜欢看历史,我觉得历史对我很有帮助。
  问:可不可以具体一点说明,像历史对数学的帮助在哪里?二流数学家做一流题目也算是一流数学家,历史经验帮你选取一流问题。
  答:历史总归来讲,就是看从前的经验,对事物对不同东西的经验。经验对你在做题目时是有好处的。对一个题目取舍的问题,就是一开始讲的,这是一个表面上很简单的问题,其实有很大的学问。一个第一流的数学家,假如他选取的问题都是第二流的,他顶多也只能做第二流的数学家。一个第二流的数学家,假如他选取的题目都是第一流的,他不一定做得到这个题目,可是他做到这个题目的二分之一,他也算是第一流的数学家,因为他对整个数学的发展有一定的贡献。什么叫第二流的学问?就是讲琐碎的问题,我们基本上对这些问题都有一定的认识,有很多人不太愿意做,或是有其他的原因不大愿意去做。你做第二流的问题,用了很大工夫去做,你做通了,对整个数学的进展没有很大的帮助。对题目的取舍,往往跟你的经验有关。譬如哲学的问题或是历史的问题,你可以晓得,经验对你有帮助,念其他书有时对你也有帮助。像文学好了,你看某些小说,或是看一本好的小说,我是讲很经典的文学小说,或者红楼梦或者三国演义,我不是讲武侠小说不行,你就晓得取舍的问题有很大的不同。
  问:过去数学家发展有很多理论,后来物理学家发现有许多物理理论的结构跟数学的结构一样。最近十年超弦的发现,是因物理学家认为应该用到更复杂的数学来研究高能物理,所以他们把代数几何或更抽象的数学引进来,你觉得这样走的路会不会是错的?杨振宁说过这种从抽象数学出发的路对的机会不大,不晓得你的看法如何?
  答:这个问题是看你怎么讲法。爱因斯坦一开始做广义相对论的时候,没有物理的支持,他是从哲学或者科学哲学的方面来讲,晓得他会要什么东西,同时有数学的工具帮忙,做成了广义相对论。刚好过了没有多久,就有证明,某种程度的证明,广义相对论是对的。可是最大的问题是超弦不像爱因斯坦那样,积极找出他需要的哲学背景,超弦理论是刚好它没有一个很坚实的哲学背景。
  另一方面,他知道有某些东西在里面,就是讲有某种程度的对,不过还没有找到数学的背景在里面,所以现在正在找,最大的问题并不是数学的问题,而是物理上的哲学背景在什么地方。现在差不多好像在钓鱼,你看到鱼竿在那里动,可是看不到鱼在哪里,也不知道是不是真的是一条鱼。不过问题是我们从种种迹象来看,因为它在数学上具有惊人的相容性,至少作为一个数学家,我认为在某种程度上超弦应当是描述一个自然界的现象,否则不应当会有这样一个融洽的数学理论在里面。基本上很多人都是这样的看法,就是说我们要找它的哲学背景。现在还没有找到,基本上的原因是这样的,超弦的前提是非摄动的理论,可是现在所有的理论都是摄动出来的,问题是摄动和非摄动的关系是相差很远的,所以我们不晓得究竟是什么原因。
  问:不过我们用量子场论的方法,也就是用摄动的方法用得非常好,突然一下跳到超弦这个层次?
  答:我想问题不单是超弦,自然界有四种力,强作用力、重力、弱作用力和电磁力,在强作用力下,摄动就已经不行了,已经不对了。
  问:量子色动力学(QCD)还是一个摄动理论?
  答:不过,QCD里面很多用线性摄动做出来的结果跟实验已经不符合了。所以我想在QCD就已经开始出现分歧,所以并没有十分的证据显示超弦理论不对,因为弦论假设是非重力,所以我认为并不能成为超弦理论的致命工具。
  问:不过苏联有一个很好的物理学家,认为重力甚至不是一个基本力,他觉得重力不该量子化,如果从这个角度来看,那整个超弦理论就错了,超弦理论是为了要把重力量子化。
  答:这个问题是这样子,我记得陈省身常常跟我讲,四个力在那边很好嘛,为什么要统一它?就是刚才讲的,我们相信什么东西,假如你相信这个宇宙是在一个很简单的基础上建立起来的,那为什么有四种不同的力,我们没有办法解释它,那就一定要统一它。就好像数学上面,平面几何有许多不同的公理,不同的理论,可是为什么我们很高兴找到几个公理,全部将它们解释掉。问题是同样意思,这是一个信念,我们相信有这个简洁,我们要找几个公理可以假设,或是几个简单的定律可以解释不同的现象,越简单越好。你们相信的话,这个问题就没有什么好讲的。
  问:那依照你的看法,超弦这个东西跟自然界过程还是有某种程度的关联?
  答:就是刚才讲的,因为它在数学上得到不同的自洽,因为不是一个场,而是好几个不同的场都很自洽,基本上它不能解释它本来要解释的东西,它应当解释另一种物理现象。像从前做杨~米尔斯规范场的时候,或是从前HermannWeyl研究规范的时候,往往一开始解释的物理现象不是要解释的,最后得到的是一个对的理论,不过这个理论解释不同的物理现象。
  问:对于大学部高年级同学,若是对微分几何有兴趣,有哪些书较适合读?
  答:我不晓得你们这边大学的微分几何念什么书?(答:通常是DoCarmo的书)Do Carmo的书念懂了也很不错了。微分几何的书其实也不少,看你自己念还是跟别人念。自己念的话,Spivak的那本书写得很详细,好像还不错吧!Spivak的好处就是它的符号弄得很清楚。你要跟一个讨论班念的话就大不同,Spivak不是特别出色的专家,他的书本身没有教给你做微分几何的方法。Spivak的书你念完后,将基本的符号搞懂,应念其他比较好的书。Milnor的几本书写得很好,其实我从前念微分几何就是从Milnor那本《Morse理论》开始念的,写得很简单很紧凑。
  问:大学里面,除了数学以外有很多其他的科系,我们会想去碰文学或其他的东西。作为一个数学家,不晓得对这些身外的世界有什么看法?
  答:刚刚一开始讲过,第一件事,你一定要决定自己想做什么。无论做什么学问,你一定要有一段时间全神贯注,一定要将某门学问搞得很懂,搞到一个可以自认是专家的地步。你搞得很专以后,其间可能还会牵涉到其他学问,不过,你主要的注意力还是在那个地方。譬如来讲,我一天花十多个小时念数学,当然有其他几个钟头是跟其他人谈谈其他东西,有时候系里的课也听听,有时候物理的课也听听,不过我都有一个主要的研究课题。我不反对你们去看历史,去看哲学,文学,不过,你要晓得你的主题在什么地方,就是刚才讲的,你认为什么东西最重要。
  一个人不可能又红又专,你刚开始的时候,假如你认为你可以同时又搞文学又搞数学,我想你两头都搞不好。这种能同时搞两个完全不同学问能搞得好的所谓天才,我还没见过。有一些人讲你要对社会关心,你对社会关心与你做数学并没有矛盾,你在做数学的同时花了时间去关心社会我不反对,我也不反对你花全部精力从事社会活动,不过你在做这个决定的时候,你要晓得你的数学会做不好,因为你事实上没有这么大的才能够同时专心在两个不同的问题上。历史上我还没见过同时搞两门学问同时搞得真正通的,不大可能的。可是这并不排除你将数学搞通以后,你再去搞文学,或者搞完文学再来搞数学,当然搞完文学再搞数学要比较困难一点。很多数学家弹琴弹得很好,唱歌唱得很好,什么东西都有,有几个弹琴弹得第一流,不过,很明显他们晓得什么是主要的什么是次要的。做偏微分方程做得很出名的Morrey,弹琴弹得第一流,做Banach空间上算子代数很出名的EnfloEnflo跟我共事过,年纪跟我差不多,他弹钢琴在瑞典是第一名或是第二名,不过并没有矛盾,他是在做完数学再去弹的,就是说有个先后。
  问:老师刚刚说做学问主要的是全神贯注。年轻人感情的问题常会造成困扰,老师当年求学是不是也有这种困扰?如何处理这种事情?能不能给个建议?
  答:不应当有矛盾的。跟刚才一样,你做学问跟其他东西,如感情可以分得很干净的。你应当可以分得很干净,我看不出有什么特别大的矛盾。出名的数学家如Euler,他有十多个儿子,家事很忙。从前做数学跟现在不同,比现在辛苦,还要去支撑整个家庭,有一大堆小孩要照顾。你去图书馆看Euler写的文章,至少几十本文集,你单抄书就要抄很久才抄得完。由此可见并不一定有矛盾。你不可能整天在想女孩子吧?
  问:爱因斯坦说过一句话:专家不过是训练有素的狗。不晓得你对这句话的看法怎样?
  答:首先我不相信爱因斯坦说过这句话。其次什么叫做专家是个很难讲的问题。假如单是重复人家能够做的,叫做专家的话,你可以说你的话是对的。你可以做一个擅长考试的学生,每次考试都考得最好,这是训练有素的,你叫他狗也好,叫什么也好。专家不专家实在很难定义,有时候你看小孩子玩电脑游戏,我觉得他们比我懂,他也算是专家。
  不要讲一条狗,一条狗其实比机器聪明。现在很多人在做计算机应用,训练计算机想题目或者是做定理。现在还差得很远,最简单的问题就是品味的问题没有办法解决,就是一开始我讲的选题目的问题。你要决定一条定理好或是不好,这个问题机器是没有办法决定的,狗也没有办法决定。假如你所谓的专家是这样的专家,他当然没有办法决定。我觉得怎么决定你做的题目有没有意思,是第一流的还是第二流的,这是一个很严重的问题。你当然可以讲所谓第一流,第二流是一个形式,随便你讲。不过微积分跟加减乘除既然有区别,研究当然也有好的差的。假如你连这点都没办法分开,我们就不能讲是高层次的研究。
  问:我们大一要念计算机概论,有人说对计算机懂一些对我们将来学数学会蛮有用的,又有人说没有用。请就你的了解,说明计算机跟数学有多大的关系。
  答:就是刚才讲的,其实你学到一门严谨的学问,对你的学问总是有好处的,计算机基本上也是一样。尤其是我们做数学,总是不懂我们要什么东西,不晓得什么应当是对的,什么应当是不对的,做研究的趣味就在这里。假如我们自己晓得什么是对什么是错的话,当然还是可以再去证明,不过最有意思还是没有决定什么是对什么是不对的时候,这时我们往往要做实验。我们数学上的实验很多是用计算机做的,现在因为计算机比从前高级多了,所以对纯数学本身有很大的好处。跟刚刚找题目的意思一样,我们找找看有没有办法晓得有一定的规律出来,然后从那边再找我们要求的定理是什么东西。就是讲,你除了单在脑子里猜外,还可以让计算机帮你的忙。譬如研究非线性常微分方程和非线性偏微分方程,你很难预测它的大范围的行为是怎么样的。假如你很精通计算机,你可以用计算机算算看它怎么走法,对你有很大帮助。我个人其实不懂怎么做数学实验,我是找人家帮忙,所以你能够大学里面就学懂怎么做这个程序,做一个好的数学实验,本身是一个很重要的素质。
  问:1617世纪的数学家,好像比较涉及其他的领域,比如物理天文方面,现在的数学家好像比较专注于数学,似乎不大一样,对不对?
  答:其实没有不一样。问题是现在的天文、物理比从前的难,没有办法不难,我们观测到的数据多得多,就实验物理来讲,我们做数学的很难去接触,并不是我们不想,是因为数据实在太多了,很难处理。我觉得我们现在跟理论物理的关系和161718世纪也差不多,不过那时学问分得没有这么细,所以看起来好像比较密切一点。其实我想再过一百年重新再看20世纪的数学跟物理的关系,我想不见得差很远。
  首先你要晓得因为我们生在这个时代,很多东西看起来比较乱;其实过了一百年后,我们现在做的学问大部分都被忘掉了,剩下来几个重要的,所以那时候看可能比较清楚一点。我想你看1617世纪的学问,很多东西根本就不见了,所以你看不出来,就是当时很多做的全部与数学无关的你也不晓得,单做数学的你也看不出来,你看到几个主要的人物,看到牛顿啦,看到莱布尼兹,没有多少人物可以数得出来,你单看到几个人的工作所以看起来好像很密切的样子。所以再过一百年以后,你看这个世界的工作,也是只看到几个人而已。图书馆里面,一天可以找到很多发表的文章,一千多篇都有,大部分文章都不见了,所以你可以想像得到。
  问:那些不见的东西,有没有它的实质?
  答:问题是这样子的,好像打仗一样,几十万人去打仗,结果几十万人你都不记得他们的名字,只记得几个将军,或者几个国家。你讲他们不重要,他们当然是最重要的,基本是一样的意思。
  问:老师,您会不会觉得我们现在念的东西相对以前要困难很多?譬如说平面几何,以前是第一流的数学家在做的,现在我们拿来当基本工具。
  答:跟刚才讲的意思是一样的,很多东西当时是困难,过了50年以后,你再看这些东西就很简单了。你想想看量子力学在几十年前除了几个出名的物理学家以外,可能对所有的物理学家都是很难的问题,现在每一个人都在用,同时用的时候假设成立根本没有问题。这是什么原因?我们开始研究的时候是很痛苦的,有不同的理论在里面,不同的理论当然有错的或不完美的,最后你要丢掉它,你丢掉它以后,就很干净,很容易看。这样我们一路做,一路将整个学问了解得清楚很多,到了解以后,这个学问变得清晰,吸收到其他不同的概念里面,就不见了。我举个例子来讲,当年高斯算很多微分几何的东西的时候,对当时而言都是很神秘的,高斯的一个著名定理说,曲率是内涵不变量。我记得我大学的时候,写得很复杂的等式,看起来难得不得了,可是大概在你懂微分几何以后,你就觉得是很简单的结论。就是很多计算或很多重要的东西,时代远了以后,慢慢将它融会,变作一个数学里面的观念,不再是工具,这个观念你接受以后,你根本不会觉得困难。所以我并不觉得我们现在的科学会比以前难得多,而是我们刚刚好在这个时候发展科学,很多观念还没弄清楚,才觉得困难。
  问:可是整体上知识的累积还是越来越多?
  答:我想目前为止,我们的脑袋可以容许这些,并不见得有特别困难。因为知识不断地进来,我们不断地消化它。一个好的定理在刚出来时,往往难得不得了,几百页的证明,你当然晓得Picard定理,Picard证明这个定理的时候,是一百多页的证明,现在Picard定理的证明可以一页多就证完了,这是什么原因?我们说这个定理重要,我们就会花很大力气慢慢将它消化,直到最后定理看起来是平凡的,基本上重要的定理,就算不是短期的,十年、二十年后,这个证明会很简单,因为通常我们将这些定理的证明分解,分解成很小部分,各个小部分吸收到不同地方去,最后剩下的是一个平凡的证明,历史上所有的发展都是这样。比如平面几何,在埃及的时代,由于阿拉伯人一把火把埃及亚历山大大帝图书馆烧掉了,埃及当然是没有文献留下来。不过我相信埃及造金字塔用了两千年,图书馆中一定搜存了很多关于平面几何的定理和事实。当时没有欧氏公理,所有的现象很乱,乱得不得了,这边一条定理,那边一条定理你可能觉得很难很难。可是这整个东西,等你将定理整个了解以后,就变简单了,我想差不多是这个意思。
  问:通常一个数学问题,会衍生出好多个问题来,但是数学家增加的速率远比问题增加的速率小,会不会造成一大堆问题做不完?
  答:这个问题不大嘛,譬如刚才讲的平面几何,到现在你要找平面几何难的问题还是很多,你去看Erd6s的问题集,很多是平面几何的问题还没有解决。没解决并不表示我们对平面几何不懂,我们对平面几何基本上是懂的,可是有公开问题在里面,并不表示不好,而是表示这个领域还是很活跃的,表示还有很多问题可以做。反过来说,一个领域里面,没有公开的问题,表示这个领域已经被我们了解透彻了,没有东西可以让我们继续再做下去。这个领域就可以说是枯竭了。
  问:如果你现在从头再当大一学生,整个生活可以按照自己理想安排,你会怎么安排整个大学一直到研究所的生活?
  答:我刚开始第一句就讲,我从前当学生的过程和现在不一定一样,因为时代不同,我们那时候的香港和你们这个时代就很不同。譬如来讲,你们比我们富有多了,我们那时,简单一句话讲,根本没有钱。你们现在找图书没有问题,我猜你们没有人抱怨图书不够,现在专业的工具也是完备多了。我们那时在香港要找一篇文章或一本书都很难,找到后有没有钱去买也是一个大的问题。那时的老师比你们现在的不行,老师拿一个博士学位就很了不起了,不要讲懂,大部分拿个硕士我们就觉得很不错了。所以我的大学经验和你们的经验有很多不同。你们的经验跟我在研究院的经验差不了太远,有好的研究人才,借书什么都不成问题。那时候我觉得在里面能够全神贯注于数学,我在研究院一年半的时候,基本上Berkley能够讲授的所有数学课程我都听过,我去听,有时还在课里面讲课,不单是听,同时要真的去做。所以要花很多时间,我不相信你们愿花时间去做到这一点。大学跟研究生的时候,是最容易念书,也是了解全部基本工具的最好时候,否则你毕业以后,有种种不同的因素,要重新再念基本工具就困难得多了。所以我说你能够花多少时间就尽量花进去,基本的课程要尽量能够念,甚至我认为你能够去念理论物理,去念理论化学都很好,看你自己的兴趣,对你会有很大的帮助。当然你对实验物理也有兴趣最好,只是这样你不会来念数学了。
  问:在大学的时代,尤其像我们大一应看些什么课外书或杂志?因为大一,很多东西还没学,应该多看多学不同的东西还是多做练习?譬如平面几何的练习或高中大学的练习?
  答:不能笼统地这么讲,要看每一个人的程度。你大一基本的东西还没懂的话,还能看什么课外书?我不晓得你们大一念什么课?线性代数念不念?主要是念微积分?微积分念懂了没?念不懂就不要跟人家讲什么东西了。至少要将微积分念得很透,就是刚才讲过,你不要以为你要念代数,所以不念微积分,这是不可能的事,微积分在代数里面很重要,所以微积分你非要弄得很懂不可,否则的话,根本没有什么好讲的。课里面的书,你一定要念懂,习题要懂得做,这是第一点。习题要做不是为了考试,而是检验一下你对书里面内容有多少了解,然后再去念课外书,看你自己的兴趣。比如Hardy—Littlewood很多文章和书其实跟微积分有很大关系,或者你去看傅立叶分析,你可以看分析怎么应用到数论中。其实参考书很多,你尽量去多看一下。不过这跟每个人的兴趣有点关系啦!或者代数的书,线性代数都可以。
  问:现在教科书,像微积分这类书,越写越厚,习题一大堆,对于这点,不知您的看法如何?
  答:微积分至少有一千多本书,我不可能都看过。从前我们看从前的老书,老书其实很好的,我们大学的时候读Apostol的书,有两本,现在还觉得蛮不错的。在大学一年多时间里,我从那两本书中学了不少东西。里面的习题有一本比较容易做,深的一本较难做,我想都可以学学。从前英国式的如CourantHardy的书都写得不错,他们是做分析的专家,所以写的书有一定的深度。其实我们从前中学看过Hardy写的《不等式》,是很好的书。这本书对你以后帮助很大,就是了解不等式是怎么推导的,多学这个技巧,怎么弄不等式,我觉得很有意思。一般认为很奇特的东西不一定就比较重要,好像泛函分析啦,希尔伯特空间这些东西,并不见得最重要。微积分里面很多很基本的工具很重要,还有解题的方法也很重要。
  问:我们念数学或上数学课的时候,往往感觉证明很长很长,弄不懂为什么这么证,又是怎么想出来的,念完整个领域,也搞不懂它在干什么?
  答:这是一个很重要的问题,学生往往背了方法,记下来,定理就懂了,证明就完了,以为你基本上将定理背懂了,当然你因此考试可以考得很高分。不过,你要将一个定理想想,最重要的你要了解,为什么它要这样子做,究竟为什么要证明这个定理,这个定理有什么意思,这是第一步。然后你想想假设你不懂这个证明以前,你怎么去做这个问题,就是怎么样看待整个问题,这是很要紧的。为了要了解这个定理,你应该想办法,将整个定理看看有没有办法推广它,推广这个定理,最广泛的情形是什么样子?我并不是讲你为了推广定理而推广,这是一个学习的方法,从这个推广的过程你会慢慢了解这个定理的证明。你可以随便找个定理给我,我可以跟你们讲大概怎么样去推广它。
  问:像隐函数定理?
  答:你虽然没有学过希尔伯特,不过你可以试试在二维空间是怎么样的。你看隐函数是什么意思,试试看你有没有办法写下隐函数出来。隐函数定理就是从一个方程式,比如两个变量的,F(xy)0,试试看找出Y一,(x)满足这个方程,想想看怎么去找,你自然就会明白,隐函数定理是怎么证的,回家试试看吧!隐函数定理是用迭代的方法证的,整个隐函数定理的步骤也是如此,你可以试一个具体写下来的方程,你试试看怎么去证明它,你就可以晓得整个思路的过程是怎么样的。如果有计算机,你可以试试看这整个迭代过程里面,用计算机是怎么一步步操作的。运行几次以后,你就可以比较清楚怎么走,然后你可以改进算法,晓得整个思路是什么样子。并不是讲这个东西很多人想过,不过在不断改进的过程中,你对这个问题会了解很多。
  隐函数定理推广到希尔伯特空间上面去以后,就成为一个很重要的偏微分方程的方法,你可以试试看隐函数定理在希尔伯特空间是怎么做的,这个推广很重要,当然你可能还没有学过希尔伯特,不过你大可以试试看,你因此可以将希尔伯特空问学好,明白这个无限维空间是怎么回事。应用隐函数在希尔伯特空间上,这可以用来解微分方程。隐函数定理是不动点定理的应用,你当然晓得,你看整个不动点怎么用,迭代压缩映射,那边可以有很多不同的做法。有很多人一辈子在做隐函数定理的应用。所以随便一个数学问题,你可以找到很多不同的讨论的地方。最简单的问题你都可以找到很多不同的有意思的地方,所以你这样子才会将数学看得比较活一点。
  问:请问丘教授在大学时代,对数学就是这样尝试的吗?
  答:为什么不可以呢?反正有时间嘛。你大学的时候其实最舒服,你做不到也没有关系,做得到最好,就有兴趣。譬如来讲,你玩玩计算机看看,你觉得好玩,就玩下去,不好就找另外一个问题再做,没有谁讲你今天做不出来就不行。所以我想,这跟游戏差不多,其实跟念文学也差不多,主要是看你有没有兴趣,你觉得有兴趣就继续玩下去,没有就算了。
  问:老师以前读书的时候,有没有碰到读书的压力?
  答:这个问题看你说的压力是怎么样的。譬如来讲,你考试总是希望拿到高分,尤其考微积分考算式,看你算得准不准,你怕算错了,这种压力当然有。不过如果你将整个微积分看懂了以后,这压力就不大了。就是说你已经懂了,你给个东西要我来微分、积分,我基本上会做,不过就是细节。譬如你要积分一个东西,积分出来刚好是它的答案,你当然会有这种压力。同时积分要用到不同的技巧,有不同的方法,你当然希望多学一些技巧,怕考试刚好要用到这个技巧,这种压力总是有的。另一方面,你对整个学问基本上懂了,在一方面你会比人家觉得没有压力。中学、大学都会有这种压力,有压力好过没有压力,假如你觉得很没压力,有时候,你根本觉得没有意思。
  不可否认,每个人都有惰性,就是讲反正无所事事也好,不写文章也没什么关系,你就慢慢吞吞的,可是做学问没有这么简单,你要全盘了解,有一定的压力在,其实对你很好。你在学生的时候把考试的压力看得很重要,其实你考试的压力比你以后要写篇好的文章的压力轻多了。考试的压力,就是你们前几天
  刚好在考试,你觉得很辛苦。有多少天?你顶多花十几天在里面,可是你毕业以后,你要做个好文章,你怎么晓得你有好的想法?你好像觉得很渺茫。另一方面,经验讲只要你用功的话,你总有一些好的想法,只要坚持不懈,你可以试十次,十次不中,第十一次中了就行。这跟下棋不同,下棋下错了举手无悔,不能重新改变,做研究你改变十次都没有关系,错了就继续第二个方法。所以问题就是刚才讲的,你错了第十次,假如你们有压力的话,就算了,不做了,有点压力,就再试第十一次,你就中了,这没有什么不好,所以我觉得压力对你是个好事,不是个不好的事。
  照我晓得的,基本上所有好的、出名的数学家或是科学家,都有压力在里面,有些人骗你,跟你吹他完全没有压力,很潇洒的样子,是做出来的。我觉得近代科学家里面,最出名最潇洒的是Feynman,他讲话轻而易举的样子。Feyn—man的物理课是很出名的,可是每一个人都晓得他花了很多工夫备课。他最后的演讲很潇洒,举手投足之间,什么东西都讲得很清楚,其实他花了很多工夫去准备。Milnor写书也是写得很好,可是他也是花费了很多的工夫。
  世界上是没有一个东西不花工夫就可以得到很好的结果,他可能刚好想了
  很久以后,突然有段时间没有想,重新再想想出来。他那个时候想出来,好像不花吹灰之力,其实花了很多工夫。爱因斯坦是出名的物理学家,我在普林斯顿的时候,爱因斯坦所有的工作都在那边,爱因斯坦做广义相对论、量子理论花了很多工夫,天天都在想这个问题。压力可以说是同行间为了竞争做出同样的问
  题,就有很大的压力。这压力你讲是其他人给的也好,你讲不是也可以。因为并没有特别道理一定要将那个东西解出来,所以跟你的兴趣也有点关系,好胜
  心也有点关系。反正有不同的因素在里面。不过照我晓得,科学家总是有一定的压力在里面。很多人讲:我是一个大天才,我今天要想出来就想出来。没有这种事,很多人做成这样子给你看,也不是第一流的数学家会跟你这么讲,第一流的工作是尝试了很多次才做出来的。
  问:请问丘老师,我还有两个问题!好几年前,我们常常听到美国有一些很聪明的华人学生,得到西屋”(Westinghouse)科学奖,可是,过了一阵子后,这些人好像都消失了。那些聪明的华人都跑到哪里去了?以您在美国多年的经验,您的看法如何?是不是就像你刚才讲的,都跑去赚钱了?还有,您在中国北京当过客座,可不可以请您讲一下,那边学生读书的态度和这边的学生有何不同?据我所知,那边不管你从事什么行业,薪水都是一样的。所以他们很乐于做数学或比较基础科学方面的研究。
  答:像西屋这个奖我觉得很好,因为一个学生要多方面思考才做得出来,当然很多是家长帮忙什么的,我就不清楚了。据我晓得拿西屋奖以后出来的,大部分都是很能干的科学研究人才。你问华裔拿了西屋以后都怎么样?因为其中的大部分都不念数学,所以我不能很明确地讲他们的前途是怎么样的。
  不过很多出名的公司里面有很多出色的华裔工程师,有很多与学术界的联系并不是那么密切,所以不一定听过。不过,有些华裔在美国,或中国台湾、香港、大陆很早毕业或很早什么的,反而有很多以后不行的。我想这跟西屋有一点点不同,因为很早毕业其实没有什么了不起,什么东西都没有搞通,你早毕业反而对你有坏处,所以有很多出名一下子后就消失了,我倒可以讲,我也可以了解他们为什么不行。西屋奖得主中因为念数学的不多,所以我不能跟你讲。
  这五六年来,中国大陆念数学的也很少,原因就是因为现在在中国念工程念商学赚钱比较容易。十多年前中国大陆要出国留学,要到美国留学的,基本上他们是要念理论科学,数学、物理,所以那个时候出国念数学、物理的很多,他们也为了这个很用功,当然里面也有不少为了学问而念学问的,不过很多是为了出国而念的,我想。最近几年因为中国大陆的经济比以前好多了,所以他们念数学的少多了,跟中国台湾有什么不同?我觉得反而这几年中国台湾还比较好一点,我想因为中国台湾钱多了,没有什么特别道理一定要念数学,所以大部分念数学的可能是对数学兴趣大点才来念的,所以中国台湾以后培养好的数学人才反而容易一点,希望如此。另一方面,中国有十多亿人口,要找到念数学的人还是有的,好的人才还是有的。
  问:我们在做作业解问题的时候,常常想了很久都不知道该怎么办,可是翻开解答一看,它的想法实在非常怪异,不晓得我们要如何去了解这种怪异的想法?它在我们学习数学的过程中扮演什么样的角色?对我们整个思想又有什么影响?
  答:我不懂你说的什么叫怪异?一个数学题目的解决,往往有很多不同的途径,尤其你们还没有做研究的经验。你讲的怪异是花了很多工夫来解决,或是很自然的解法?
  问:只要以几个步骤就解决了,然后你会很惊讶。
  答:其实这对你有个好处,你能够懂得惊讶就对你很好,你要看懂了解决的方法,你就对解决的方法很难忘掉,对不对?假如你不惊讶你就背下来,一下子就忘掉了,这对你根本没有好处。每一个解决问题的方法,假如跟标准的书里不同的话,这是一个工具,可以讲是解决一个题目的方法的工具,逐渐积累起来以后,就是等于一个工程师他口袋里有很多不同的小工具。等你做其他问题的时候,这个工具可以重新再去用,所以为什么学生应当去解题目就是这个缘故。就是一方面你晓得一个数学的大方向,一方面你口袋里面要有很多工具。
  有很多人讲哲学,讲理论,我认为数学怎么样子,怎么样子,结果真正到了要解决一个问题的时候,口袋里面没有一定的工具。一个大房子盖的时候,你可以晓得基本上的工程是怎么盖的,可是你不能够就这样讲就算了,到了你真正要去盖的时候,就发觉这边要上螺丝,那边要上铁条,你不懂得上你就盖不起来,就是这个意思,所以做题目很要紧就是这个样子。基本上,如果你没有想之前就看那个解答,看了以后,这很简单嘛!基本上就是这一边乘一乘,那边除一除就行了。可是,你先想那个题目,再去看解答,你才了解,这个解答并不是那么容易的,你搞一搞就搞不懂,为什么他就搞得懂?所以你一定要先想题目再看解答,一定要学这种工具,这种很奇异的解答要将它学会,学会以后,第二次再出现同样的问题,你就可以用。

 

 
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