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【数学家访谈】丘成桐谈学习数学(一)
作者:管理员  来源:转自因特网  发布时间:2016年7月27日  点击次数:503

从前我们的时代,念中学和大学的时候,能够挑的科目不是很多;现在比起从前有点大不同,可挑的比较多。如果是要赚大钱,你可以念工商管理,很多不同的科目,你可以赚很多的钱。其实对整个国家来讲,也需要能够管经济或其他方面的人才,赚钱没有什么不好。
  对于国家,整个社会来讲,没有讲一定要念数学。其实要混口饭吃的学科很多,同时也可能比较容易点,所以念数学不要是混口饭吃就好了。就是讲你跳出这门课来看的时候,最好不要讲念数学就是为了混口饭吃或为什么东西。假如你不想念数学,就早点决定不要念数学,你真的要念数学的话,你就花工夫在这上面。
  懂得越多,才知兴趣所在
  我的结论就是假如你决定要念数学,挑选了数学以后,你就花全部工夫到数学上面去,希望对数学有兴趣,在数学里你可以得到很大的乐趣。同时这样决定了,对你以后的成就也会有很大的影响。
  我觉得最不好的就是你对数学有兴趣,却为了赚钱就跑到其他科目,其实你也不见得赚得到钱。这是讲你的决心要下得很大,不要三心二意,让我念念看,假如不行的话再转,很多人是这个样子,尤其是中国学生,进了大学再试试;看嘛,这儿不行就转转,最后搞得两边都不如愿,很多人是这个样子,为什么一定要这样?
  这是决心的问题,一个很重要的决定,就是你进数学系时,你预计要做什么事情,对我自己来讲,我很早就下了决心我要念数学,所以从来没有想过要转其他的或是为了其他事情不念数学。
  你决定了以后,你要懂得数学有很多不同门,就是分支,你在大学,对每一门分支的了解可能差得远。就是讲你很难在大学里就决定对数学里哪一门兴趣大一点。
  其实兴趣和你懂得的学问是有关系的,因为你可能对某件东西有兴趣,不过你不晓得它时,你就不可能对它有兴趣。譬如你去爬山,你爬过了小山才看得到大山,你还没有看到后面的山以前,就不可能对后面的山有兴趣,所以所谓兴趣和你了解多少是一种非线性的关联。
  这个兴趣和你当时的地理环境有关系,跟当时的时间也很有关系,就是和当时的时空关联很大。譬如来讲,因为你刚好在台湾,你旁边的教授若是单做那一行的,你对其他行就不见得晓得。就整个世界来讲,虽然你刚好走到某个地方,也许时间刚好不对,大部分数学家对这一方面兴趣不大,对其他问题兴趣大一点,并不表示其他问题就不重要。所以数学家对整个数学的了解,跟时空有关,兴趣也会跟这个有关。
  我觉得一个年轻的学生,首先要开放心胸,就是讲你要晓得,你念的学科,有很多时候跟其他的学科关系很大,不要以为我念的这门学科跟其他的完全无关,其他的就不念了。例如很多学生,说对某些文学课有兴趣,凡跟这门文学没,有关系的,就不再想去念它。比如讲我对泛函分析有兴趣,跟泛函分析关系不大的,就算有一点关系我也不想去看,这是一个错误的观念。其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关。大学是一个通才教育,就算你单对代数有兴趣,除了代数要懂以外,对微积分也要懂,其实微积分对代数也有很大的影响。所以基本上大学所能提供的课程,我觉得你们年轻人都应该去学,不单要学,而且要尽量学好。
  基础打好,对研究帮助很大
  很难想像有什么大学课程在研究院是不重要的,你在大学里念的每一门课,和以后研究都有很大的关系,我想关系是绝对有的,就算在研究院里一两年的课,我想对你以后的研究也是有很大的好处的,所以应该尽量将基础打好。其实到你真的做研究时,你会发现你需要很多工具,很不幸,很多东西你在念大学、念研究院时没有好好地念好。到了念博士那个时候,你常常要赶写论文什么的,你发现工具已不够,要花很多时间去念,工具不够又不想去念,你就很麻烦。毕业拿个博士以后,你又有很多不同的其他压力,台湾比较少,至少在美国是很大的,你要尽量发表文章,一下子没有那么多时间将那门工具重新再念过。一所以念大学跟研究院那两年的时候,要尽量将所有基本工具全部念懂,我想这是很有必要的。
  譬如来讲,我很多朋友是代数几何做得很好,可是需要用到分析做工具时,他们就觉得很怕,反过来讲,分析念得很好,可是需要代数时就很怕。不过我觉得一个好的数学家,至少要懂得两门以上的数学分支。当题目来的时候不会恐惧,才能很活跃地做一个好研究。
  一门学科你要念到什么地步?你自己要晓得。就是讲你遇到一个研究课题的时候,你虽然不见得能够解决掉,至少你要晓得你可以坐下来对这个问题一产生一些想法,同时可以找这方面的文献,将它基本的术语弄懂。晓得怎么去攻进这个问题,然后开始解这个问题。这个问题不一定能够解决,不过至少你不觉得不着边际,晓得怎么去对付这个问题。要做到这个地步,其实是要懂很多东西,要经过相当久的训练才能够达到这个地步。
  因为我们能力有限,一个人不可能每门都懂,不是我们不想,可是当一个题目来的时候,我们往往会产生很多不同的相关问题,这个题目并不见得正好是我们熟悉的领域,我们希望能够找文献或至少找个适当的做研究的人,问他们一碰到这个问题时要怎么对付。
  所以你们在大学或研究院要懂得怎么发问,这是个很重要的基本功训练。一发问的训练,从小的方面来讲就是问老师或同学,从大的来讲,就是自己做一些比较起来还没有人问过的问题。一个好的数学家跟差的数学家,往往决定于你一问的问题有没有意思,是不是重要的问题。你要做到后来成为一个专家的时候,才晓得你问的问题有没有意思。
  不过对你们年轻人来讲,问一些你自己认为有意思的问题是一个很好的训练,你问的问题可能是专家们熟知的或是人家已经解决了的,其实也没有什么关系,问问题是一个很重要的训练,并不容易,不过你要尽量在这方面自己训练自己。
  我想你们大学念到一年级、二年级时,应当通过跟同学讨论来训练自我,也要通过向老师问问题来训练自己。
  我不晓得你们清华的同学间,彼此讨论的情况怎么样?我觉得这很重要的。无论是懂的问不懂的人来讲,或是不懂的问懂的人,这两方面都有很大的好处。
  你自己不懂的问题去问很懂的人,当然对你自己有好处。反过来讲,你自己很懂跟不懂的人解释自己懂的东西,也是一个很好的训练。因为往往我们认为很懂的东西,在向别人解释时,才发现自己其实不懂。向对方解释数学命题时(一般来讲,你大学读到的是比较已知的命题),往往会发现本来以为对的解释原来是错的。所以无论是你自己觉得自己学问不大好的,或是自己学问做得很好的,我觉得互相讨论对双方都有好处。
  高年级同学比较知道,在看课外书或是参考书时,前面的第一章,觉得很容易,第二章也很容易,到第三章可能模糊,到第四章时好像很形式化,并不懂什么意思。为什么会产生这种现象呢?这很简单,因为第一章比较浅一点,你是真的看懂了,第二章其实你不懂,你就跳过去了。这个证明没看懂,但自以为,大概这样就对了。越看越多时,前面知识越累积向后面,错就越来越多,到了最后时,根本就没办法控制。
  假如你看一本书时,你对一个人讲,甚至对一个黑板讲也可以。对其他同学讲,不单有意思,而且同学往往会问你些问题,让你晓得你什么地方是没有搞清楚的,经过整个过程以后,你会晓得什么地方你懂,什么地方你不懂。所以我们往往鼓励学生一定要教书。
  我们做研究的人也一样,一定要教书,不能够单单做研究就算了,不用教书。教书的好处跟刚才讲的一样,你在讲自己的研究的时候,或者在讲一个命题时,你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方。你不讲自己的研究,你发觉你好像很模糊搞不清楚;当你向别人讲时,一点一滴讲出来,你就晓得自己在哪方面不足,中间的联系,并不是你想像的那么完善。常常因为我们发觉研究不够完善,所以我们还要继续向前做研究。假如研究都是充足的话就可以告一段落了。
  所以同学跟同学间,同学跟老师间的讨论,我想都是很重要的。
  任何一门科学,包括数学,都不能说已经发展得很完善了,在每一个层次上我们都可以问一些很重要的问题。基本上数学里即使很简单的学问,你也可以问出很重要的问题,这些问题你并不一定能够解决,你可以跟老师或者跟同学讨论。
  不过你在问问题时,可以将自己的整个思想、思考搞清楚,这是一个很重要的训练,我很鼓励你们尽量去问一些问题。
  我觉得很得意的,就是我从很早的时候,就常问一些数学问题。我在中学时开始问一些问题,自己看有没有办法解决。
  其中有一个问题,我考虑了一年:给一个三角形多少数据,就可以完全决定一个三角形呢?普通给定三个数据,例如一条边两个角(ASA)或三条边(SSS),都可以决定三角形,假如给的是三个分角线的长又如何呢?三角形的数据一般有边长、角度、分角线长、中垂线长等等,随便抽三个出来是否就能决定一个三角形?
  你试试看,大部分的都能解,只有一两个不能解。我中学的时候研究过这个问题,考虑了一年多,最后发现这个问题并不简单。我小时候坐火车,在火车上都在想,最后看了一本参考书才知道能不能解,不过整个过程对我的思考帮助很大。
  从前是二年级的时候开始念平面几何,我在三年级的时候开始想这个问题,还有很多比这个问题更复杂的问题,所以在最简单最平凡的问题中你可以找到很多有意思的问题问自己。
  问题并不少,在自然界里或数学中问题多得不得了,问题是自己去找或如何去找。这个要自己训练,方法很多,要自己努力,同时要跟别人多来往。训练要花很多工夫,就是问,从早到晚你究竟花了多少工夫在那里?你要动脑筋,不是随便讲两句就行了。
  做学问用功很重要
  我从前有一个博士生,资质不错,想法也不错,我跟他说你一天,最少要花六个钟点在数学上面想论文,他说不行,后来他也没有再做下去了。我不晓得你们能不能坐六个小时想数学,或看数学?做学问全神贯注很重要,假如你觉得不能全身心投入的话,你干脆不要念数学算了。
  从前我大学毕业后,我一天最少有十个多钟头在想数学,你并不一定要这样子,不过你至少要花一定工夫的钻研才能做一个好的数学家。你愿意花很多工夫以后我想你一定会有收获。
  当然,一个好数学家,除了用功之外,也要有一些运气在里面,聪明很有影响,你们能考上清华,聪明应该不会差太远,真正重要的,还是全神贯注的能力。
  从前,我们在中国香港长大,很想看参考书,但又贵又不容易找到。你们现在在清华,我想,你们要找什么都找得到,要找些比较好的研究员来跟你们讲东西,现在也容易多了,所以我想主要是你们能不能够做,最好不要找借口。
  在国外很多大的学校,学生很多,不大容易找到好的老师,研究的机会可能也比这边少得多,我读大学时的经验就是这样,主要是你肯用功。
  做学问是靠自己,做研究也靠自己。一般来讲,你到一个学校,刚好跟你做同一行的很少很少,顶多两三个而已。基本上是靠自己。在台湾参考书都有了,不一定要靠别人,要有发动自己的能力,自己肯问问题,单靠自己应该不会差太远的。
  所以你一旦做决定后,你要享受做数学的乐趣,好比下棋,假若对下棋没有兴趣,被逼去下棋就很痛苦,可是你对下棋有兴趣的话,你越下越有意思,下到困难的地方更有意思,做数学也是一样,碰到困难的问题更有意思,所以一定要建立兴趣。
  兴趣是要培养的。如果你问一个小学生:你对微积分有没有兴趣?”你当然可以讲他对微积分没有兴趣,因为他根本不懂微积分。
  同样的意思,如果我问你对微分几何有多大的兴趣,在你还没有开始做之前,你当然不晓得,因为你根本不懂微分几何。这其实是很空洞的问题,不能讲我现在有兴趣,或我现在没兴趣。不过到你真的做进去以后,你才发现你对它有很大的兴趣。

 
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