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【数学科普】——框外的思考
作者:管理员  来源:转自因特网  发布时间:2015年6月5日  点击次数:569

三维动物想象四维是很难的事。常见的辅助方法有两种,一种是降一维,考虑二维动物如何想象三维,以此类推帮助我们想象四维。这方面的杰出代表是Abbott的《Flatland》。另一种是把时间当第四维,动画加投影。

http://www.mysanco.cn/index.php?class=wenku&action=wenku_item&id=123

框外的思考

Sonia Buckley

关键词: 应用数学, 四维空间

“好吧,下个没有尝试过这个习题的人将失去的是本习题的分数,另外还将失去以前已经完成的习题成绩。”

我不知道我的数学教授是否有权力这样做,但可以看出来他对不合作试一试该题的同学极度不满。

一个星期快速而过。

你的理由是什么?

“你的作业在哪里?”头大的是我已经忘记还有作业这事。更糟糕的是,我迟到了十分钟。这位教授提高了他的声音,为了更好地使我引人注目。“那么,什么是你的理由?”我看着地板,在接受我的具有平均破坏力的处罚前,开始嘀嘀咕咕关于忘记的事实。他透过眼镜上方看着我,把对全班的愤怒集于我一人身上,所以我决定,至少我会有声有色地逃过这一劫。“来吧,请告诉我,”他在暴风雨前的平静中敦促着。我深吸了一口气,开始解释。

“这一切都开始于上个周末。在此之前,我可以向你保证,我是一个比较正常的人,但是,上个周末,我开始看到一些东西。”“东西?什么样的事情呢?”教授对接道,也许惊讶于我相当不寻常的反应。我已经即兴发挥。

这是一个相当普通的星期天下午,我一直愉快地盯着周围空间,迷失在某种思维之中。突然,一个相当蓝色的球体出现在我面前的空气中。它已经变得相当大,然后开始萎缩,尺寸再次回落,直到消失。

我抬起头来看看教授的回应。他忙着在黑板上画画。我转过头看他勾勒的东西。

“你有没有注意到球体的半径或体积如何随时间变化的?”教授问。我对这问题吃了一惊,从他的绘画中抬起头来,并立即回答说,我没有。“这是一大遗憾,”教授回应说。“你可能已经看到了一个四维超球。”班上的其他人吃吃地笑起来,被我的故事及教授遵从我的游戏逗得很。他画了一个通过一个二维平面的三维球体。对于二维平面上的二维人,球体会看起来像一个增长和收缩的圆。就像我所说的成长和萎缩的球体。所以,我的成长和萎缩的球体真的只是个通过某个四维空间运动的四维球的三维截面?我向教授提出了这个问题。“当然没有办法确实知道它是一个四维球体,而不是带有球形截面的一个四维椭球,或一些具有球形截面的其他四维实体,但如你已经按时记录它的半径如何随着时间而改变,我们就可以假设它在四维中匀速移动,并至少有一个更好的主意。”他看上去相当指责性的,所以我决定继续我的故事。

球体平移经过一个面(面在图中以一条线表示),面截球体所交的截面圆在慢慢增大然后又逐渐减小。

“我几乎相信我已经想像出了整个的球体,就在那时我被地板上一个相当奇怪的东西绊了一跤。它是这样的。”我很快就在黑板上勾勒了出来。

我解释说,我原以为这只是一个玩具,当它开始折叠本身时,我的小妹妹已经把它留在那里。我不能完全明白我在看什么,它的部分似乎从里向外翻,相互通过,直到它再次消失。“哈,Tesseract!”这位教授是真正的高兴。全班看起来真的很困惑。他解释道:

“在一维,你所能画的的几何图形是两点由一条直线连接。在二维空间中,沿直线垂直的方向放置另一条线段,产生一个正方形。同样地,通过移置一个正方形,你可以形成三维空间中的一个立方体。但为什么停下来呢?为什么不能有第四个维度?现在,你可以通过垂直于第四维移置一个立方体,得到一个四维超立方体。这就是所谓的tesseract!”

“我们不能想象四维tesseract,但我们能想象它的三维网。就像一个立方体能折叠给出一个二维形状,看上去像一个T,tesseract能折叠给出一个三维的物体------这就是你将你妹妹的玩具错认成的形状。”

班上的一个学生尖声叫道:“物理学家告诉我们时间是第四维。所以你刚刚告诉我们的这个额外维度是和时间一样吗?”

一个超正方体围绕平面旋转的投影

“不是的,但是你可以从数学上把时间看成第四维。时间恰巧具有一些非常有趣的物理性质,把它视为第四维在物理上有用:在这种思维下,宇宙能被描绘成闵科夫斯基时空。但这并不意味着时间就像其他空间维数。”我们大家都变得温和起来,接受了他所说的,即便实际上还没有看到任何方程。

“你们还没有看到方程,为什么同意我的观点?”老师在黑板上写出

d2=x2+y2+z2.

“这个方程描写了通常三维空间中的两点之间的距离:如果你在空间中放置一个坐标系,将一个点对应于坐标(0,0,0)而将其他点对应于坐标(x,y,z),则毕达哥拉斯定理告诉你d恰为这两点之间的距离。因为空间有三维,这个表达式有三项。根据通常经验以及经典物理,无论你是否在移动的火车、轮船或飞机上,或站在其一边观察另一运动物体上的某人,描述距离的这个方式都是一样的,换言之,它是守恒的。”

“这在狭义相对论中就不再对了。爱因斯坦从理论上证明距离d确实依赖于你的参考标架的速度,因此d不再守恒!不过有另外一个量可以是守恒的,它由下式

d2=x2+y2+z2(ct)2

给出,其中c为光速,t为时间。这使得时间看上去和物理维数x,y,z有点相像,不是吗?当然,这当中有着更多的东西,”他继续说道,并翻开一本教材。

“从数学上看,没有理由为什么你不能有额外的空间维数。仅仅发生的是从物理上看我们似乎没有它们。举电磁射线的平方反比定律的例子吧。如果一个点源,譬如一个灯泡,正在发光,则每秒有P瓦的能量离开灯泡------每秒有P瓦穿过灯泡的球面。因为球面有面积A=4πr2,其中r为球面的半径,强度则由

I=P/A=P/(4πr2)

给出。实验指出这的确如此。如果世界真的有四个物理维数,则平方反比定律就会是立方反比定律,其强度落为1/r3,因为光在四维而不是三维中发射。当然,光在第四维可能不工作,并且也许有其他理由使我们感觉不到第四维。因为我们所有的力在那里似乎都不工作,它似乎有可能与我们习惯的三维非常地不同。”

电灯泡可以近似看作一个球体,所以平方反比定律适用。

“所以我很傻,”我难过地叹了口气。教授笑道:“有那么一点儿。不管怎么说,让我们为即兴的讲故事者鼓掌。”我的脸色由粉红转为绯红,我终于吸了一口宽慰之气:他看上去不再生气了,也许我已摆脱危境。“课后我们将安排给你的处罚。”我的心一沉,但至少我已如愿以偿地成功逃逸。教授走近我。“那是我至今所教的最精彩的一堂课,”他告诉我。“作为你可以不丢分数的交换,我期望你准备一个下周可以讨论的特别论题。”然后他让我走了。很惊叹我能如此轻易地能够逃脱。我想有的时候框外思考并不损失什么。

原文来源: http://plus.maths.org/content/os/issue51/features/buckley/index
作  者: Sonia Buckley
翻  译: 丁玖,密执安州立大学博士,南密西西比大学数学教授
校  对: 汤涛,香港浸会大学数学讲座教授
 
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